Gauss karmaşıklığına daha düşük sınırlar

Bir matrisinin Gauss karmaşıklığını , matrisi üst üçgen formuna getirmek için gereken minimum satır ve sütun işlemleri sayısı olarak tanımlayın . Bu, ile n ^ 2 arasındaki bir miktardır (Gauss eleminasyonu yoluyla). Bu kavram her alanda mantıklıdır.$n \times n$$0$$n^2$

Bu sorun kesinlikle çok basit görünüyor ve üzerinde çalışılmış olması gerekiyor. Şaşırtıcı bir şekilde, herhangi bir referans bilmiyorum. Bu yüzden, herhangi bir referanstan memnun olacağım. Ancak, elbette, ana soru:

Bilinen önemsiz olmayan açık alt sınırlar var mı?

Önemsiz demek istediğim süper doğrusal. Açık olmak gerekirse: Sonlu alanlar üzerinde sayım argümanı rastgele bir matrisin karmaşıklık sırası n ^ 2 olduğunu gösterir (benzer alanlar sonsuz alanlar için de geçerli olmalıdır). Bu nedenle, aradığımız açık bir matris ailesi, örneğin Hadmard matrisleri. Bu, rasgele bir işlevin yüksek karmaşıklığa sahip olduğunu bildiğimiz Boolean devre karmaşıklığı ile aynıdır, ancak bu özellik ile açık işlevler arıyoruz.

Bu, çok daha fazla çalışılan bir sorunla ilgili çok zor bir sorun gibi görünmektedir.

Diyelim ki kare ters çevrilebilir bir matris A'yı düşünüyoruz ve c (A) 'yı A'yı kimlik matrisine indirgemek için gereken minimum sıralı satır işlemi olarak tanımladık. Bu karmaşıklık ölçüsü, Moritz'in önerdiğinden daha büyük olduğundan, bunun için süper doğrusal sınırların kanıtlanması sadece daha kolay olabilir.

Şimdi, satır işlemleri tersine çevrilebilir . Sonuç olarak c (A) , kimlik matrisinden başlayarak A üretmek için gereken minimum sıra işlem sayısı olarak eşdeğer olarak tanımlanabilir .

A'nın bu şekilde üretilmesinin, x'i Ax'e alarak haritayı hesaplamak için aritmetik bir devre oluşturduğuna dikkat edin. Her kapının fanı 2'dir ve giriş olmayan kapıların sayısı sıra işlemlerinin sayısına karşılık gelir.

Ters yönde belirgin bir azalma yoktur (devrelerden sıra-op sıralarına). Yine de, sınırlı bir devre modelinde Ax'in aritmetik devre karmaşıklığı açısından c (A) 'yı karakterize edebiliriz: c (A)' nın A, aritmetik bir devresindeki minimum kenar sayısının yarısına eşit olduğunu iddia ediyorum. fanin en fazla 2 ve genişlik n, burada fanin 1'in kapılarına giden kenarlar için ücret almıyoruz. (Burada devre genişliği olağan fikrini kullanıyorum.) Bu daha önce taslağı çizilen basit fikir kullanılarak gösterilebilir.

Şimdi iyi çalışılmış sorunlara bağlantı: 30 yılı aşkın bir süredir, fanin-2 devresinde süper lineer sayıda kapı gerektiren açık bir doğrusal harita Baltası (herhangi bir sonlu alanın üzerinde) sergilemek ünlü bir açık sorundu. Klasik referans Valiant, "Düşük seviyeli karmaşıklıkta grafik teorik argümanlar" ve Lokam'ın yakın tarihli bir FTTCS araştırması da faydalıdır.

C (A) çalışmasında, ek bir genişlik kısıtlaması uyguluyoruz, ancak kısıtlamamız çok zayıf olduğu için (genişlik n) sorunun daha kolay olacağını tahmin etmiyorum. Ama hey - Yanlış kanıtlanmak isterim.

Referanslar var ve oldukça eski. Boole matris çarpımı için kombinatoryal algoritmalar üzerinde çalışırken onlara rastladım.

1966'da Moon ve Moser, bir matrisin tersini GF (2) üzerinden hesaplamanın bir üst ve alt sınır sağlayarak satır işlemlerine ihtiyaç duyduğunu kanıtladı . ( Sonlu bir alan üzerinde çalışırken ekstra bir kapatma sıkabilirsiniz.)$\Theta(n^2/log n)$$\log n$

Moon ve L. Moser Karşılaştırması. Matris Azaltma Sorunu. Hesaplama Matematiği 20 (94): 328-330, 1966.

Makaleye JSTOR'dan erişilebilmelidir.

Alt sınırın sadece bir sayma argümanı olduğundan eminim ve alt sınıra ulaşan hiçbir açık matris verilmedi.