Tepe etiketlerinin “yerel” işlevlerini birleştirmek için grafik ayrışmaları

Bulduğumuz istediğinizi varsayalım

\sum_{x} \prod_{i j \in E} f (x_{i}, x_{j})

$\sum_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$ veya

max_{x} \prod_{i j \in E} f (x_{ben}, x_{j})

$\max_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$

tüm etiketlemeleri üzerinde maks veya toplam alındığında $V$ , grafiği için ürün tüm kenarlarından alınır ve isteğe bağlı bir fonksiyondur. Bu miktar sınırlı ağaç genişliği grafikleri için ve genel olarak düzlemsel grafikler için NP-zordur. Uygun renklendirme sayısı, maksimum bağımsız set ve Euler altgraflarının sayısı yukarıdaki sorunun özel örnekleridir. Bu tür problemler için, özellikle düzlemsel grafikler için polinom zaman yaklaşım şemalarıyla ilgileniyorum. Hangi grafik ayrışmaları yararlı olabilir? $E$ $G=\{V,E\}$ $f$

Edit 11/1 : Örnek olarak, istatistiksel fizik (örneğin, Mayer genişleme) küme genişlemeleri benzer olabilir ayrışmalar merak ediyorum. $f$ zayıf etkileşimleri temsil ettiğinde , bu açılımlar birleşir, bu da grafiğin boyutuna bakılmaksızın genişleme $k$ terimleriyle belirli bir doğruluk elde edebileceğiniz anlamına gelir . Bu miktar için PTAS'ın varlığı anlamına gelmez mi?

Güncelleme 11/02/2011

Yüksek sıcaklık genişletmeleri, bölüm fonksiyonu $Z$ , daha yüksek sıra terimlerinin daha yüksek sıra etkileşimlerine bağlı olduğu terimlerin toplamı olarak yeniden yazar . "Korelasyonlar bozulduğunda", yüksek dereceli terimler yeterince hızlı bozulur, böylece $Z$ kütlesinin neredeyse tamamı düşük dereceli terimlerin sonlu sayısında bulunur.

Örneğin, Ising modeli için, bölüm işlevinin aşağıdaki ifadesini göz önünde bulundurun

Z = \underset{x \in X}{Σ} tecrübe J \underset{ben j \in E}{Σ} x_{ben} x_{j} = c \underset{bir \in C}{Σ} (\tanh J)^{| bir |}

$Z=\sum_\mathbf{x\in \mathcal{X}} \exp J \sum_{ij \in E} x_i x_j = c \sum_{A\in C} (\tanh J)^{|A|}$

Burada basit bir sabit, grafiğimizin Eulerian alt kümelerinden oluşan bir settir, alt satırındaki kenar sayısıdır . $c$ $C$ $|A|$ $A$

Bölüm işlevini, toplamdaki her bir terimin altgrafın büyüklüğüne göre katlanarak cezalandırıldığı altgraflar üzerinde bir toplam olarak yeniden yazdık. Şimdi aynı üslü terimleri bir arada gruplayın ve ilk terimlerini alarak yaklaşın. boyutundaki Eulerian altgraflarının sayısı çok hızlı büyümediğinde, yaklaşımımızın hatası ile katlanarak azalır . $Z$ $k$ $p$ $k$

Yaklaşık sayım genel olarak zordur, ancak "korelasyon bozulması" durumları için kolaydır. Örneğin, Ising modeli söz konusu olduğunda, değerinden daha yavaş büyüdüğünde korelasyon bozulması vardır, burada boyutundaki Eulerian altgraflarının sayısıdır . Böyle bir durumda, yüksek sıcaklık genleşmesini kısaltmanın için bir PTAS verdiğine inanıyorum $f(k)$ $(\tanh J)^k$ $f(k)$ $k$ $Z$

Başka bir örnek, ağırlıklı bağımsız kümeleri saymaktır - eğer ağırlık yeterince düşükse, herhangi bir grafik için izlenebilir çünkü problemin korelasyon bozulmasını gösterebilirsiniz. Daha sonra miktar, sınırlı boyutlu bölgelerdeki bağımsız kümeler sayılarak tahmin edilir. Dror Weitz'in STOC'06 sonucunun, maksimum derece 4 olan herhangi bir grafik için ağırlıksız bağımsız set sayımının mümkün olduğuna inanıyorum.

İki "yerel" ayrışma ailesi buldum - Bethe küme grafikleri ve Kikuchi bölge grafikleri. Ayrıştırma esasen bölgelerdeki sayıları çarpmanızı ve bölge çakışmaları içindeki sayılara bölmenizi söyler. Kikuchi bölge grafiği yöntemi, bölge örtüşmelerinin "dahil etme-hariç tutma" türü düzeltme kullanarak kendilerinin çakışabileceğini dikkate alarak bunu geliştirir.

Alternatif yaklaşım, sorunu "Kombinatoryal Uzaylar Üzerinden Varyasyonel Çıkarım" gibi küresel izlenebilir parçalara ayırmaktır. Ancak, yerel ayrışmalar bölge boyutunu seçerek yaklaşık kaliteyi kontrol etmenizi sağlar

— Yaroslav Bulatov
kaynak

Söylemek istediğim bir yorum için çok uzun (ama gerçekten olmalı).

Soruyu doğru okuyorsam, yukarıdaki miktarlardan herhangi biri için her biri özel durumlar olarak çeşitli # P-tamamlama problemleri içeren bir FPRAS (tamamen polinom randomize yaklaşım şeması) istiyorsunuz. Özellikle, düzlemsel grafikler söz konusu olduğunda, küme genişlemesi kullanarak genel bir FPRAS istersiniz.

Varoluş sorununun NP tamlığının (örn. Uygun renklendirme) AP sayısında (yaklaşık olarak uygun renklendirme sayısı) #P'de AP azaltılabilirliğine (yaklaşık- ) korunması. Bakınız Dyer, Goldberg, Greenhill ve Jerrum, Algorithmica (2004) 38: 471-500.

Ama belki de soruyu yanlış okudum.

(Aslında, girişimsizlere yüksek sıcaklık genişlemelerinin anlamını açıklayabilir misiniz?)

— RJK
kaynak

Soruma cevap verdim

— Yaroslav Bulatov

@Yaroslav: Kapsamlı açıklama için teşekkürler! BTW, "bölge" ile "köşe altkümesi" ne demek? (Heske, JAIR 26 (2006), 153-190'a baktığımda gördüğüm şey budur.) Aslında, belirli sınıflar (belirli derece için f) ile belirli FPRAS'ları (yani, belirli f seçenekleriyle) aradığınız görülüyor. en çok 4) "grafik ayrışımı" olarak adlandırdığınız düzlemsel grafiklerin (çok aşırı yüklü bir terimdir, adil olmak). Bu doğru mu?

— RJK

Evet, bölgeler köşe alt kümeleridir ve "izlenebilir" grafik sınıfları için PTAS ile ilgileniyorum. BTW, burada korelasyon çürüme ile örnekleri için PTAS dönüştürülebilir düşünüyorum bağımsız setleri saymak için bir küme ayrışma bir çalışmış örnek - yaroslavvb.blogspot.com/2011/02/...

— Yaroslav Bulatov