Sınırlı üçlü genişlik grafikleri üzerinde kolay küresel sorunları zor küresel sorunlardan ayıran nedir?

Sınırlı üçlü genişlikli grafikler üzerinde polinom zamanında çok sayıda sert grafik problemi çözülebilir . Aslında, ders kitapları tipik olarak yerel bir sorun olan örnek olarak bağımsız küme kullanır . Kabaca, yerel bir sorun, her köşenin küçük bir mahallesini inceleyerek çözümü doğrulanabilen bir sorundur.

İlginç bir şekilde, küresel nitelikteki problemler bile (Hamilton yolu gibi) sınırlı üçlü genişlik grafikleri için verimli bir şekilde çözülebilir. Bu tür problemler için, olağan dinamik programlama algoritmaları, çözeltinin ağaç ayrışmasının karşılık gelen ayırıcısını geçebileceği tüm yolları takip etmelidir (bkz. Örneğin [1]). [1] 'de randomize algoritmalar (cut'n'count adı verilen) verildi ve [2]' de geliştirilmiş (hatta deterministik) algoritmalar geliştirildi.

Pek çoğunun söylenmesinin adil olup olmadığını bilmiyorum, ancak en azından bazı küresel problemler sınırlı üçlü genişlik grafikleri için verimli bir şekilde çözülebilir. Peki bu grafiklerde zor kalan sorunlar ne olacak? Onların da küresel nitelikte olduğunu varsayıyorum, ama başka ne var? Ne küresel sorunlar bu sert küresel sorunlara ayıran olabilir verimli çözülecek? Örneğin, bilinen yöntemler bize nasıl ve neden etkili algoritmalar vermez?

Örneğin, aşağıdaki sorunlar görülebilir:

Kenar ön renklendirme uzantısı Bazı kenarları renkli bir grafik verildiğinde , bu renklendirmenin G grafiğinin uygun bir k -kenar-renklendirmesine genişletilip genişletilemeyeceğine karar verin .$G$$k$$G$

Kenar ön renklendirme uzantısı (ve liste kenar renklendirme varyantı), iki taraflı seri paralel grafikler [3] için NP tamdır (bu grafikler en fazla 2 treewthth'e sahiptir).

Minimum toplam kenar renklendirme Grafik verildiğinde , bir kenar renklendirme χ : E → N bulun, böylece e 1 ve e 2 ortak bir tepe noktasına sahipse, χ ( e 1 ) ≠ χ ( e 2 ) . Amaç, renklerin toplamı olan E ′ χ ( E ) = ∑ e ∈ E χ ( e ) ' yi en aza indirmektir .$G=(V,E)$$\chi : E \to \mathbb{N}$$e_1$$e_2$$\chi(e_1) \neq \chi(e_2)$$E'_\chi(E) = \sum_{e \in E} \chi(e)$

Başka bir deyişle, bitişik kenarlar farklı tamsayılar alacak ve atanan sayıların toplamı minimum olacak şekilde bir grafiğin kenarlarına pozitif tamsayılar atamamız gerekir. Bu problem, kısmi 2 ağaç için [4] NP-zordur (yani, en fazla 2 tane trewidth grafiği).

Bu tür diğer zor problemler, kenar-ayrık yollar problemi, alt çizgi izomorfizm problemi ve bant genişliği problemidir (bakınız örneğin [5] ve içindeki referanslar). Ağaçlarda bile zor kalan sorunlar için bu soruya bakın .

[1] Cygan, M., Nederlof, J., Pilipczuk, M., van Rooij, JM ve Wojtaszczyk, JO (2011, Ekim). Tek bir üstel zamanda trewidth ile parametreleştirilmiş bağlantı problemlerinin çözümü. Bilgisayar Bilimi Temelleri (FOCS), 2011 IEEE 52. Yıllık Sempozyumu (s. 150-159). IEEE.

[2] Bodlaender, HL, Cygan, M., Kratsch, S. ve Nederlof, J. (2013). Ağaç genişliği ile parametrelendirilen bağlantı problemleri için deterministik tek üstel zaman algoritmaları. Otomata, Diller ve Programlama'da (s. 196-207). Springer Berlin Heidelberg.

[3] Marx, D. (2005). NP - düzlemsel grafiklerin kenarlarında liste renklendirme ve ön renklendirme uzantısı. Grafik Teorisi Dergisi, 49 (4), 313-324.

[4] Marx, D. (2009). Minimum toplam kenar renklendirme için karmaşıklık sonuçları. Kesikli Uygulamalı Matematik, 157 (5), 1034-1045.

[5] Nishizeki, T., Vygen, J. ve Zhou, X. (2001). Kenar-ayrık yollar sorunu, seri-paralel grafikler için NP-tamdır. Kesikli Uygulamalı Matematik, 115 (1), 177-186.

Sınırlı treewidth grafikleri için algoritmaların çoğu, bir tür dinamik programlamaya dayanır. Bu algoritmaların etkili olması için, dinamik programlama tablosundaki durum sayısını sınırlamamız gerekir: eğer bir polinom-zaman algoritması istiyorsanız, o zaman polinom sayıda duruma (örn. N ^ tw) ihtiyacınız varsa, problemin FPT olduğunu gösterirseniz, genellikle durum sayısının treid genişliğinin bir işlevi olduğunu göstermek istersiniz. Durum sayısı tipik olarak, grafiği küçük bir ayırıcıda kırarken farklı kısmi çözüm türlerinin sayısına karşılık gelir. Bu nedenle, sınırlı sayıda tepe noktası grafikleri aracılığıyla bir sorun genellikle kolaydır, çünkü sınırlı sayıda köşe noktası aracılığıyla dış dünya ile etkileşen kısmi çözümlerin yalnızca sınırlı sayıda türü vardır. Örneğin, bağımsız küme probleminde kısmi bir çözümün türü sadece hangi sınır köşelerinin seçildiğine bağlıdır. Hamilton döngüsü probleminde, kısmi bir çözeltinin tipi, kısmi çözeltinin alt yollarının sınırın köşeleri ile nasıl eşleştiği ile tanımlanır. Courcelle Teoreminin varyantları, bir problemin kısmi çözümlerin sadece sınırlı sayıda tipe sahip olması özelliğine sahip olması için yeterli koşulları sağlar.

Sınırlı üçlü genişlik grafiklerinde bir sorun zorsa, bunun nedeni genellikle aşağıdaki üç nedenden biridir.

1. Problemde grafik tarafından yakalanmayan etkileşimler var. Örneğin, Steiner Ormanı, kaynak-hedef çiftleri bitişik olmayan köşeler arasında etkileşimler yarattığı için, siper genişliği 3 grafiklerinde NP açısından zordur.

Elisabeth Gassner: Steiner Orman Sorunu yeniden ziyaret edildi. J. Ayrık Algoritmalar 8 (2): 154-163 (2010)

MohammadHossein Bateni, Mohammad Taghi Hajiaghayi, Dániel Marx: Sınırlı Eğim Düzleminin Düzlemsel Grafikleri ve Grafikleri Üzerine Steiner Ormanı İçin Yaklaşım Şemaları. ACM 58 (5): 21 (2011)

2. Sorun, grafiğin kenarlarında tanımlanır. Grafiğin bir kısmı sınırlı sayıda köşe noktası aracılığıyla grafiğin geri kalan kısmına eklenmiş olsa bile, bu birkaç köşeye gelen birçok kenar olabilir ve daha sonra kısmi bir çözümün durumu yalnızca tüm bu kenarları. [3,4] 'deki problemleri zor yapan da budur.

3. Her tepe noktası çok sayıda farklı duruma sahip olabilir. Örneğin, Kapasitif Köşe Örtüsü W [1] - treidwith ile parametreleştirilir, çünkü sezgisel olarak kısmi bir çözümün açıklaması sadece ayırıcının hangi köşelerinin seçildiğini değil, aynı zamanda ayırıcının seçilen her tepe noktasının kaç kez olduğunu da içerir kenarları örtmek için kullanılır.

Michael Dom, Daniel Lokshtanov, Saket Saurabh, Yngve Villanger: Kapasitif Hakimiyet ve Örtme: Parametreli Bir Bakış Açısı. IWPEC 2008: 78-90

Benim önerim, Courcelle teoremine dikkatle bakmak , monadik ikinci derece mantığında (belirli uzantıları) ifade edilebilir problemlerin treewidth ile parametrelendirildiğinde FPT algoritmalarına sahip olması. Benim şüphem, bunun bu grafikler için FPT problemlerinin bilinen örneklerinin çoğunu veya çoğunu kapsamasıdır. Bu görüşe göre, yerel / küresel ayrımınız, varoluşsal MSO'da ifade edilebilen problemler ile MSO formülasyonlarında daha yüksek nicelik seviyelerine sahip problemler arasındaki ayrım ile yakından ilişkili görünmektedir. Asıl sorunuza dönmek için, MSO formülasyonunun eksikliği (çoğu durumda Myhill – Nerode teoremi ile ilgili fikirleri kullanarak koşulsuz olarak kanıtlanabilir) ) bir FPT algoritmasının eksikliğine (karmaşıklık teorik varsayımları olmadan kanıtlanması daha zor) kanıt olacaktır.

Bence bu örneklerden biri en az kesim sorunudur. Düzgün en geniş kesme problemi sınırlı ağaç genişlikli grafiklerde çözülebilir ancak ağırlıklı en geniş kesme problemi sınırlı üçlü genişlik grafiklerinde bile (17/16'dan daha iyi) tahmin edilemez.

En az kesim probleminin birçok farklı çeşidi vardır, ancak iyi bilinenlerden biri aşağıdaki gibidir.

$G=(V,E)$$w:E(G)\rightarrow N$$E(S,V\setminus S) \subseteq E(G)$$S \subset V$$\frac{W(E(S,V\setminus S))}{|S||V\setminus S|}$$E'\subseteq E(G)$$W(E')=\sum_{e\in E'}w(e)$ , ayrıca problem tanımını karar sürümüne değiştirebiliriz).

Ana bileşen iki şeyden oluşur:

1. Ek fonksiyonlar, burada ağırlık fonksiyonu. Fakat yine de, sınırlı ağaç genişliğinin yönlendirilmemiş grafiklerinde çok zor olmayan ağırlık fonksiyonu ile ilgili bazı problemler vardır.

2. En kestirme sorunun doğası. Aslında sorunun tanımında dinamik programlama için birden fazla bağımlılığın varlığı. Sezgisel olarak iyi bir çözüm, bir grafiği (bazı kenarları kaldırarak) neredeyse eşit iki boyuta böldüğümüz, diğer taraftan bu bölümde kullandığımız en az sayıda kenarı sildiğimizdir. Sınırlı treewidth grafiğinde sorunun zor olmasının nedeni, dinamik programlamayı iki yönde uygulamamız gerektiğidir, ancak her iki yön de birbirine bağlıdır.

Genel olarak, sorun dinamik programlama için birden fazla boyuta ihtiyaç duyacak bir şekildeyse ve bu boyutlar birbirine bağlıysa, o zaman sınırlı ağaç genişliği grafiklerinde problem zor olma potansiyeline sahiptir. Bu paterni hem sorudaki problemlerde hem de en az kesim probleminde görebiliriz. (İlk problemde, önceki renklendirmeyi diğer yandan renklendirmeyi mümkün olduğunca küçük tutmak istiyoruz, ikinci problemde açıkça birbirine bağlı iki fonksiyon var)