Sertlik fazı geçişlerine örnekler

olduğunda çözülmesi "kolay" ve bazı , değerleri için olduğunda "zor" olan gerçek değerli bir p parametresiyle parametreleştirilmiş bir problemimiz olduğunu varsayalım .$p=p_0$$p=p_1$$p_0$$p_1$

Bir örnek, grafiklerdeki sıkma yapılandırmalarını saymaktır. Ağırlıklı uygun renklerin, bağımsız setlerin sayılması, Euler altgrafları, sırasıyla "yüksek sıcaklık" için yaklaşık olarak kolay ve "düşük sıcaklık" için zor olan, sırasıyla hardcore, Potts ve Ising modellerinin bölümleme işlevlerine karşılık gelir. Basit MCMC için, sertlik fazı geçişi, karıştırma süresinin polinomdan üstel olana atladığı bir noktaya karşılık gelir ( Martineli, 2006 ).

Başka bir örnek olasılıklı modellerde çıkarımdır. Biz verilen modeli "tüm değişkenler bağımsız" modeliyle , kombinasyonu alarak "basitleştiriyoruz" . İçin sorun için, önemsiz bu inatçı ve ikisinin arasında bir sertlik eşik yatar. En popüler çıkarsama yöntemi için, yöntem yakınsamada başarısız olduğunda sorun zorlaşır ve gerçekleştiği nokta belirli bir Gibbs dağılımının faz geçişine (fiziksel anlamda) karşılık gelir ( Tatikonda, 2002 ).$1-p$$p$$p=1$$p=0$

Bazı sürekli parametreler değiştikçe sertlik "sıçraması" nın diğer ilginç örnekleri nelerdir?

Motivasyon: grafik tipinin veya mantık tipinin yanı sıra sertliğin başka bir "boyut" örneğini görmek

Standart en kötü durum yaklaşımında, yaklaşım faktörü değiştikçe birçok keskin eşik vardır .

Örneğin, 3LIN için, her biri 3 değişken üzerinde verilen birçok Boole doğrusal denklemini karşılayan, yaklaşık 1/2 için basit bir rastgele atama yaklaşım algoritması vardır, ancak bazı t = 1/2 + o (1) 'den daha iyi herhangi bir yaklaşım zaten vardır tam SAT kadar sert (üstel zaman gerektirecek şekilde varsayılır).

Bu aradığınız sorunun türü olup olmadığından tam olarak emin değilim, ancak NP-Complete problemlerinin faz geçişi (şimdiye kadar) iyi bilinen bir fenomendir. Konuyla ilgili bazı popüler makaleler için Brian Hayes'ın 3-SAT faz geçişi hakkında "Memnun Olmama" makalelerine ve Sayı Bölümü Faz geçişi hakkında "En Kolay Sorun" başlıklı makaleye bakın.

Selman ve Kirkpatrick ilk olarak sayısal olarak 3-SAT için faz geçişinin, cümlelerin değişkenlere oranının yaklaşık 4.3 olduğu zaman olduğunu gösterdiler.

Gent ve Walsh ilk olarak Sayı Bölme Sorunu için faz geçişinin bitlerin liste uzunluğuna oranı yaklaşık 1 olduğunda meydana geldiğini sayısal olarak gösterdiler. Daha sonra bu, Borgs, Chayes ve Pittel tarafından analitik olarak kanıtlandı .

Gezgin Satıcı, Grafik Renklendirme, Hamilton Döngüsü, diğerlerinin yanı sıra, problem örneği oluşturmanın uygun bir parametrelendirmesi için faz geçişlerine sahip gibi görünmektedir. Bence, tüm NP-Complete problemlerinin uygun bir parametrelendirme için bir faz geçişi sergilediğine dair yaygın bir inanç olduğunu söylemek güvenli.

Kuantum hesaplaması için (bazı) gürültü modellerine bağlı olarak, gürültülü kapıların Clifford kapıları tarafından simüle edilebileceği gürültü seviyesi için bir eşik değerdir, böylece kuantum hesaplama süreçleri verimli bir şekilde simüle edilebilir hale gelir. Başlangıç ​​olarak bkz. Plenio ve Virmani, Gürültülü Cli-ord tabanlı kuantum bilgisayarların hata tolerans eşiklerinde üst sınırlar (arXiv: 0810.4340v1).

Bu gibi çözülebilir modeller, her yerde pratik bir sorun hakkında bizi bilgilendirir: bir termal rezervuarla (muhtemelen sıfır sıcaklıkta) temas eden belirli bir fiziksel kuantum sistemi için, klasik ile verimli simülasyon için eşik değerinin altında veya üstünde o termal rezervuarla ilişkili gürültü seviyeleri kaynaklar? İkincisi, hangi simülasyon algoritmaları en uygunudur?

Bir faz geçişi için özellikle dikkat çeken bir örnek Exactly- giden en derecesi -SAT (X her maddesi tam olarak ihtiva ettiği SAT) tat değişmezleri. Sorun, ilişkili parametreye bir tane ekleyerek son derece kolay (her zaman tatmin edilebilir) olmaktan NP-tamamlanmış olmaktan çıkıyor.$k$$k$$k$

Let herhangi bir X şekilde büyük sayısını ifade Herhangi bir değişken en meydana geldiği SAT örneği maddeleri karşılanabilir olduğu garanti edilir. Her değişken yalnızca bir yan tümcede ortaya çıkarsa, örnek önemsiz olarak tatmin edilebilirdir (her değişkeni karşılık gelen değişmez değeri doğru yapan değere ayarlayın). Diğer yandan, aynı değişkenlerindeki yan tümcelerinin toplanması tatmin edilemez. Böylece .$f(k)$$k$$f(k)$$2^k$$k$$1 \le f(k) < 2^k$

Bir X SAT örneğinin, bazı bit alt mesajlarından kaçınan bir bit mesajı olup olmadığını sormak anlamına gelen doğal (mantıksal olmayan) bir anlamı vardır . Ayrıca, parametre değerine doğal bir şekilde yeniden ölçeklendirilebilir; bu daha sonra 0 ile 1 arasında gerçek bir değer alır.$k$$n$$k$$f(k)/2^k$

Değişkenlerin en fazla kez ortaya çıkabileceği örneklerin hepsi önemsizdir. Bununla birlikte, değişkenlerin en fazla kez olabileceği örnek sınıfı zaten NP-tamamlanmıştır.$f(k)$$f(k)+1$

• Jan Kratochvíl, Petr Savický ve Zsolt Tuza, Değişkenlerin Bir Daha Oluşumu, Memnuniyetin Önemsizden NP-Komple , SIAM J. Comput. 22 (1) 203-210, 1993. doi: 10.1137 / 0222015

Ayrıca için oldukça sıkı sınırların bilinmesi de ilginçtir . Yukarıdaki makale Lovász Yerel Lemma'dan bir alt sınır elde etmiştir ve üst sınır için açık bir şekilde daha yakın zamanda açık bir şekilde inşa edilmiştir. Kısacası, .$f(k)$$f(k) = \Theta(2^k/k)$

• Heidi Gebauer, SAT ile ilgili sonuçları olan mahalle varsayımının iptali, Combinatorica 32 (5) 573-587, 2012. doi: 10.1007 / s00493-012-2679-y (baskı öncesi )
• Heidi Gebauer, Tibor Szabó, Gábor Tardos, Yerel lemma SAT , SODA 2011 için sıkı .