Permütasyon Matrisleri için Kapak Ayarla

Bir dizi nxn permütasyon matrisi (bu n! Olası permütasyon matrisinin sadece küçük bir kısmıdır) göz önüne alındığında, T matrislerinin eklenmesinin her pozisyonda en az 1 olması için S'nin minimal boyutlu alt kümelerini nasıl bulabiliriz?

S'nin S_n'nin küçük bir alt grubu olduğu bu soruna ilgi duyuyorum. Açgözlü algoritmalardan çok daha hızlı olan yaklaştırma algoritmalarını bulmanın (ve uygulamanın!) Mümkün olup olmadığını merak ediyorum ('şanslı' olana kadar birçok kez çalıştırın, ki bu çok yavaş bir prosedürdür, ancak yine de bazı optimal sınırlar vermiştir. küçük durumlarda) veya uyumsuzluğun yapamayacağımı garanti edip etmediğini.

Bu sorun hakkında birkaç kolay gerçek: Uzun bir döngüsel permütasyon matrisi grubu bu problemi en iyi şekilde çözer. (Her permütasyon matrisinde n tane olduğundan ve n ^ 2 tane gerektiğinden en az n matris gereklidir.)

İlgilendiğim setlerin içinde n-siklik bir grup yok.

Bu sorun set kapağının çok özel bir durumudur. Aslında, X'in n ^ 2 öğesiyle (1,2, ... n) * (1,2, ... n) kümesine izin verirsek, her permütasyon matrisi bir n alt kümesine karşılık gelir ve I X'i kapsayan bu alt kümelerin en küçük alt kümesini arıyorum. Set kapağı, genel küme kapak sorununun yaklaşık çünkü bu soruna bakmak için iyi bir yol değildir.

Açgözlü yaklaşımı kullanarak bu sorunun çok yavaş olmasının tek nedeni, permütasyon grubundaki simetrinin çok fazla fazlalığın ortadan kaldırılmasına yardımcı olmasıdır. Özellikle, S bir alt grupsa ve T, minimal bir kaplama seti olan küçük bir altkümeyse, sT setleri (T'nin grupların herhangi bir elemanı ile çarpımı) hala S içindedir ve hala bir kaplama setidir (tabii ki) Aynı boyutta, bu yüzden hala minimal.) Merak ediyorsanız, başarılı durumda n ~ 30 ve | S | ~ 1000 vardır, şanslı açgözlü sonuçlar | T | ~ 37. N ~ 50 olan vakaların alınması çok uzun zaman alıyor.

Özetlemek gerekirse, bu soruna yaklaşım yaklaşımları olup olmadığını veya genel set kapak probleminde olduğu gibi bazı uyumsuzluk teoremine sığacak kadar genel olup olmadığını merak ediyorum. Uygulamada ilgili problemleri tahmin etmek için hangi algoritmalar kullanılır? Alt kümelerin tümü aynı boyutta olduğu ve her elemanın aynı küçük frekans 1 / n'de göründüğü için olası bir şey olabilir gibi görünüyor.

-B

Burada durum için approximability neredeyse geçirmez analiz S olduğu olmayan simetrik grubun bir alt-grubu olması gereklidir.

Bu problem Set Set için özel bir durumdur ve basit bir açgözlü yaklaşım algoritması vardır [Joh74]. Biz gösteriyorsa, k harmonik sayıda inci H _k = S _{i 1 =} ^k 1 / i , Algoritma bir yaklaşım oranı elde H _{, n} = İn n + Θ (1). ( H _n −1/2 biraz daha iyi bir tahmin oranı ile sonuçlanan bir algoritma [DF97] vardır .) ( Düzenleme : Revizyon 2 ve daha önceki açgözlü algoritmanın doğru değerden daha kötü yaklaşık oranını belirtmiştir.)

Dahası, bu aşağıdaki anlamda neredeyse optimaldir:

Teorem . Permütasyon Matrisleri için Kapak Ayarla NP ⊆ DTIME ( n ^{O (log log n )} ) olmadığı sürece 0 < ε <1 sabiti için yaklaşık bir oran (1− ε ) ln n içinde yaklaştırılamaz .

İşte bir kanıt taslağı. [ N ] = {1,…, n } yazıyoruz . Set Cover'dan bir indirim yapacağız:

Kapak
Örneğini Ayarla : Pozitif bir tamsayı m ve [ m ] alt kümelerinin C toplanması . Çözüm : bir alt kümesi, D ve C setler birliği bu şekilde , D [eşittir m ]. Amaç : Küçült | D |.

Bu Feige [Fei98] meşhur sonucudur Seti Kapak bir yaklaşım oranı (1- içinde yaklaşık olarak yok olduğunu ε ) ln m herhangi bir sabit 0 < ε <1 NP ⊆ DTime sürece ( n- ^{O (log n )} ).

( M , C ) bir Set Cover örneği olsun. Permütasyon Matrisleri için Set Cover'ın bir örneğini ( n , S ) oluşturacağız.

$\pmatrix{0 & 1 \\ 1 & 0}$$\pmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1}$i ≤ n (burada i +2 endeksi modulo n olarak yorumlanır ). 0≤ j ≤ m için S _j = { P _E Q ^j : E ∈ C ∪ {{ m +1}}} ve S = S ₀ ∪… ∪ S _m'yi tanımlayın .

İddia . K , C cinsinden minimum [ m ] kapağının boyutu olsun . Daha sonra minimum kapağın boyutu S (eşittir , k + 1) ( m + 1).

Kanıt kroki . Eğer D ⊆ C arasında bir örtü [ m ], bir kapak oluşturmak için , T ⊆ S (| büyüklüğü D (+ 1 |) m ile + 1) T = { P _E S ^j : D ∈ S ∪ {{ m +1}}, 0≤ j ≤ m }.

Öte yandan, T ⊆ S bir kapak olsun. Tüm matrisleri Not S ₀ boyutu 2 × 2 blokları ile diagonal, ve diğer matrisler S Bu bloklarda 0 sahiptir. Bu nedenle T ∩ S ₀ bu blokları kapsar. Ayrıca, T ∩ S ₀ P _{{ m +1}} içerir, aksi takdirde (2 m +1, 2 m +2) girişi kapsamaz. ( T ∩ S ₀ ) ∖ { P _{{ m +1}}}, C'deki ayarlanmış bir kapağa karşılık gelir . Bu nedenle, | T ∩ S ₀ | ≥ k +1. Benzer şekilde, herhangi bir 0≤ j ≤ m için | T ∩ S _j | ≥ k +1. Bu nedenle, | T | ≥ ( k +1) ( m +1). İstemin kanıt taslağının sonu .

İstem üzerine, yukarıda oluşturulan indirgeme yaklaşık oranını korur. Özellikle teoremi oluşturur.

Referanslar

[DF97] Rong-Chii Duh ve Martin Fürer. Yarı-yerel optimizasyon ile k- set kapağının yaklaşımı . Gelen Computing Theory (STOC) ile yirmi dokuzuncu Yıllık ACM Sempozyumu , s. 256-264, Eylül 1997 http://dx.doi.org/10.1145/258533.258599

[Fei98] Uriel Feige. Ayarlanan kapağın yaklaşık değeri için ln n eşiği . ACM Dergisi , 45 (4): 634–652, Temmuz 1998. http://dx.doi.org/10.1145/285055.285059

[Joh74] David S. Johnson. Kombinatoryal problemler için yaklaşım algoritmaları. Bilgisayar ve Sistem Bilimleri Dergisi , 9 (3): 256–278, Aralık 1974. http://dx.doi.org/10.1016/S0022-0000(74)80044-9

Brüksel'de öğle yemeği boyunca bu sorunun NP-Hard olduğunu 3SAT'den oldukça kısa bir düşüşle kanıtladık. Kanıtımız (henüz) bir uyumsuzluk sonucuna yol açmamaktadır. Bunun hakkında daha fazla düşüneceğiz.

Kabaca, 3-SAT örneğini (n değişkeni ve c yan tümcesiyle) aşağıdaki şekilde yapılandırılmış bir dizi permütasyona dönüştürürsünüz:

1 ... n, n + 2 değişken aracı tarafından kullanılan n + 1 n numaralı değişkenleri numaralandırmak için, 1. fıkrayı temsil eden n + 3 ... n + 2c + 2 nolu fıkrayı temsil eden n + 2j, n + 2j + 1 çöp toplayıcı tarafından kullanılır

xi değişkeni 1, ..., i-1, n + 1, i + 1, ..., n, i, ... permütasyonu ile temsil edilir ve her fıkra için n + 2j + 1, n + 2j değiştirilir burada j, xi'nin göründüğü; ve permütasyon 1, ..., i-1, n + 1, i + 1, ..., n, i, ... ve n + 2j + 1, n + 2j'yi değiştirerek j nerede - xi görünür.

Ardından, her bir sayıyı başka türlü görünmeyeceği bir konuma yerleştirmek için çöp toplayıcıyı kullanırız. X'i y konumuna yerleştirmek için, y'yi n + 2c + 2 ve n + 2c + 2'yi x konumuna yerleştirdik. Her değişken için tam olarak n + 2c-1 ve her bir madde için 2 (n + 2c-1) gibi çöp toplayıcılarımız olacak. 3SAT, her bir değişken için 2 permütasyondan birini tam olarak seçebiliyorsak, permütasyon seti kapağının n + (n + 2c-1) (n + 2c) boyutunda bir çözümü varsa, tatmin edilebilir.

Muhtemelen küçük örnekler için bazı küçük detaylar eksiktir.

Stefan.