Kareler toplamı yönteminde sayısal hassasiyet?

Barak & Steurer ve Barak'ın ders notlarından kareler toplamı yöntemi (SOS) hakkında biraz okudum . Her iki durumda da halının altında sayısal doğruluk sorunlarını süpürüyorlar.

Yöntemin (kuşkusuz sınırlı) anlayışımdan aşağıdakiler doğru olmalıdır:

Tüm parametrelerin ( , ve her bir kısıtlamanın derecesi) olduğu, gerçek değer değişkenleri üzerinde herhangi bir polinom eşitlik sistemi verildiğinde , derece- " "( ) SOS yöntemi değişkenlerin tatmin edici bir atamasını bulur veya zamanında hiçbirinin mevcut olmadığını kanıtlar . $E$$x \in \mathbb{R}^n$$O(1)$$n$$|E|$$2n$$=O(1)$$O(1)$

İlk sorum, yukarıdaki iddianın doğru olup olmadığıdır (bunu çözmek için SOS kullanmayan saf bir argüman var mı?). İkinci soru, sayısal doğruluk nereye uyuyor. Katkı maddesi doğruluğu içindeki tüm kısıtlamaları karşılayan bir atama almak istersem , çalışma zamanı nasıl bağlıdır ? Özellikle, polinom mu?$\varepsilon$$1/\varepsilon$

Bunun nedeni, temel durum boyutlu bir sistem oluncaya kadar büyük bir sisteme böl ve fethet yaklaşımını uygulamaktır .$O(1)$

DÜZENLEME: Barak-Steurer'dan, s.9'daki "ve derece -kareler toplamı algoritması" nın (ve ona giden paragrafların) hepsinin üzerindeki çözümlere ilişkin sorunları tanımladığı anlaşılıyor ve aslında bölüm 2.2'deki yalancı dağılımın tanımı . Ancak şimdi Lemma 2.2'den, ikili değişkenler olmadan derecede bir çözüm / çürümenin garanti edilmediğini görüyorum .$l$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$2n$

Böylece sorumu biraz hassaslaştırabilirim. Değişkenleriniz ikili değilse, endişe çıkış sırasının sonlu olmamasıdır (belki de monotonik artmıyor mu?). Yani soru şu: hala artıyor mu? Ve eğer öyleyse, ilave doğruluk elde etmek için ne kadar ileri gitmelisiniz ?$\varphi^{(l)}$$\varphi^{(l)}$$\varepsilon$

Bu muhtemelen hiçbir şey değişmez rağmen, ben gerçekten ne kadar büyük endişe duyuyorum bu yüzden, (herhangi bir derece hiçbir yalanlama yoktur) benim sistem karşılanabilir olduğunu biliyor olmaya ihtiyacı vardır. Son olarak, sayısal bir çözücü ile değil, teorik bir çözümle ilgileniyorum.$l$

İşte Boaz Barak'ın konuyla ilgili yorumu :

Halının altında sayısal doğruluğu süpürüyoruz - Parrilo, Lasserre vb. 'Nin daha "geleneksel" SOS literatürü bu konularla ilgileniyor (örneğin, bkz. Monique Laurent'in anketleri ve buradaki referanslar). Hiyerarşinin monoton olduğu ( derece psuedo dağılımının özellikle derecesi olduğunu görmek zor değildir ) ve herhangi bir sabit denklem seti için sonlu derecede yakınsak olacağı bilinmektedir (bu, Pozitivstellensatz). Kesin derece değişebilir. Genel olarak, polinomların tüm katsayıları sınırlanmışsa ve bir çözüm olduğu ve herhangi bir ödevde denklemlerden birinin tarafından kapalı olduğu durum arasında ayrım yapmaya çalışıyorsanız , bunu bir$l$$l-1$$\epsilon$$\delta$-net değişken sayısı, denklemlerin derecesi ve ile ilgili için ve sonra (ağın yeterince "güzel" ve "küp gibi" olduğu varsayılarak) gerekli derece kablonun büyüklüğünü günlüğe kaydetmelidir.$\delta$$\epsilon$

Sanırım cevabım muhtemelen yetersiz, ama tamlık uğruna kalıyor (muhtemelen daha iyi bir cevap için Boaz'ın aşağıdaki yorumlarına bakın)

Kendimizi boole değişkenleriyle sınırladığımızda, iddia, yalancı dağılımlarının gerçek dağılımlar olduğu gözlemiyle, tüm için olduğunda görülebilir. polinom eşitliklerinizin çözümlerini karşılayan bir sahte dağılım :$(x_i^2-1) \in E$$i \in[n]$$2n$$\mu(x)$$x$$E$

$\sum_{ x \in \{-1,1\}^n} \mu(x)$ ve derece ile tüm polinomlar için en fazla$\sum_{x\in\{-1,1\}^n} \mu(x) p^2(x)\ge0$$p$$n$

Ancak derecesi polinomları örneğin (gösterge polinomu içerir olan ki bu tüm- başka bir yerde sıfır ve bu ödevde 1). Bu yüzden tüm için , bu yüzden , çözümleri üzerinde gerçek bir dağıtım olduğu sonucuna varıyoruz . Derece yalancı dağılımları bir ilgili derece bulmak için yarı kesin programlama kullanılarak bulunabilir sözde-beklenti operatör biz, asıl dağıtım bulabilmesi zaman zaman$n$$x_1 = 1, x_2=-1, x_3=1$$2^{-3}(1+x_1)(1-x_2)(1+x_3)$$\mu(x) \ge 0$$x\in\{-1,1\}^n$$\mu$$E$$\ell$$\ell$$n^{O(\ell)}$$\mu$$n^{O(n)}$her anları bulmak için sözde beklenti (hemen gerçek bir beklenti) kullanılarak .$\mu$

Yani, eğer , daha sonra bir dizi çözüm dağılımı bulabilirsiniz olarak zaman. Tabii ki, kaba kuvvet arama aynı şeyi garanti eder.$|E| = O(1)$$E$$O(1)$

Ancak, çözümlerin mutlaka boolean olmaması durumunda, dereceler - sahte beklentiler, çözümler üzerinde bir dağılım bulmak için yeterli değildir. Yukarıda görülebileceği gibi, derece yalancı dağılımlarının gerçek dağılımlar olduğunun kanıtı, derece polinomlarının bireysel olarak ödevleri 'seçmek' için yeterlidir, ki bu daha genel olarak doğru değildir. Bunu izlemenin başka bir yolu, boole değişken polinomların , bu nedenle her monominin derecesi en fazla .$2n$$2n$$n$$\mod(x_i^2)$$n$

Örneğin, her ikili değişkeni dahil ederek 4-ary değişkeniyle değiştirmeyi düşünebilirsiniz . O zaman çözümler üzerinde bir dağılımın kurtarılmasını garanti etmek için bir derece sözde beklentiniz olması gerekir.$(x_i^2-1)(x_i^2-4) \in E$$4n$

Şimdi, teorik garantiler için, bir polinom sisteminin bir köküne yaklaşmak Smale'in 17. problemi olarak da biliniyor ve görünüşe göre bunu çözen rastgele (Las Vegas) bir polinom zaman algoritması var - bkz. Http://arxiv.org /pdf/1211.1528v1.pdf . Bunun Blum-Shub-Smale modelinde göründüğüne dikkat edin, bu yüzden gerçek operasyonlar ilkeldir. Bunun ihtiyacınız olan garantiyi sağlayıp sağlamadığından emin değilim.