Bir dikdörtgenin yayılan ağaçlarının sayısı için kesin formül

10

Bu blog bir bilgisayar kullanarak onları numaralandıran "kıvrımlı küçük labirentine" üretmekten bahsediyor. Numaralandırma UST'yi almak için Wilson algoritması kullanılarak yapılabilir , ancak orada kaç tane formül hatırlamıyorum.

http://strangelyconsistent.org/blog/youre-in-a-space-of-twisty-little-mazes-all-alike

Prensip olarak, Matris Ağacı Teoremi bir grafiğin yayılan ağaç sayısının grafiğin Laplacian matrisinin determinantına eşit olduğunu belirtir. Let $G= (E,V)$ grafik olarak ve $A$ komşuluk matris, $D$ daha sonra, derece matris $\Delta = D - A$ öz değerleri ile $\lambda$ : daha sonra,

k (G) = \frac{1}{n} \prod_{k = 1}^{n - 1} λ_{k}

$k(G) = \frac{1}{n} \prod_{k=1}^{n-1} \lambda_k$

Bir $m \times n$ dikdörtgeni durumunda, hem $A$ hem de özdeğerler bulamadığım özellikle basit bir form almalıdır.

Bir $m \times n$ dikdörtgenin kapsayan ağaçlarının # için kesin formülü (ve asimptotik) nedir?

resim açıklamasını buraya girin

İşte Wilson'ın algoritmasının güzel bir örneği.

— john mangual
kaynak

2

Tamsayı Dizilerinin Çevrimiçi Ansiklopedisi Kesin formüllerin türetilmesi kolay görünmemektedir.

— Peter Shor

@ PeterShor OEIS alıntıları: Germain Kreweras, Complexite et devreleri Grafikler , J. Combin. Teori, B 24 (1978), 202-212. O bizimle aynı nesneler değil mi?

— john mangual

m \times n

$m \times n$

9

Göre https://www.cse.ust.hk/~golin/pubs/ANALCO_05.pdf bilinen bir kapalı-formlu bir formül mevcuttur.

$n$ $m$

\exp (z_{s q} m n)

$\exp (z_{\mathrm{sq}}mn)$

z_{s q} = \frac{4}{π} \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{i}}{(2 i + 1)^{2}} \approx 1.16624

$z_{\mathrm{sq}}=\frac{4}{\pi}\sum_{i=0}^\infty\frac{(-1)^i}{(2i+1)^2}\approx 1.16624$

m

$m$

n

$n$

— David Eppstein
kaynak

Burada verilen bir dikdörtgendeki yayılan ağaçların sayısı (ve doğrusal çokgenler tarafından tarif edilen daha genel alt çizgi dizileri) için kesin asimtotik formüller vardır: arxiv.org/pdf/math-ph/0011042.pdf (özellikle, sonuç 2 ve öneri 13 )

— Lorenzo Najt

Yine, bu matematiksel bir fizik deposunda. Asimtotik formülleri titizlikle kanıtlıyorlar mı yoksa sadece fizik benzeri ansatz muhakemesi kullanıyorlar mı?

— David Eppstein

Acta Math 185 (2000) no. 2, 239-286'da tarif edilmektedir.

— Lorenzo Najt

0

M-n-n dikdörtgen grafiğin özdeğerleri, bu grafiklerde mükemmel eşleşme sayısı için bir ifade elde etmek için kullanılabilir. Domino tilings hakkındaki Wikipedia makalesine bakın .

— Tyson Williams
kaynak

Bu ilginç, ama bunun soruyu nasıl çözdüğünü açıklayabilir misiniz? Bu özel durumda mükemmel eşleşmeler ve yayılan ağaçlar arasında herhangi bir eşleme var mı?

— Saeed