XOR geçitleri kullanan en küçük devre boyutu

Varsayalım ki, her bir y_i'ye bu değişkenlerin (verilen) bir alt kümesinin XOR'si olan, bir dizi n x x,,, x_n n boolean değişkeni ve y_1 ... y_m bir m işlevi kümesi verildi. Amaç, tüm bu y_1 ... y_m işlevlerini hesaplamak için gerçekleştirmeniz gereken minimum XOR işlemi sayısını hesaplamaktır.

Bir XOR işleminin sonucunun, x_1 XOR x_2 ifadesinin birden çok y_j değerinin hesaplanmasında kullanılabileceğini, ancak bir olarak sayıldığını unutmayın. Ayrıca, y_i'nin daha verimli hesaplanması için çok daha büyük bir x_i koleksiyonundan (herhangi bir y_i işlevinden daha büyük, örneğin tüm x_i'lerin XOR'u hesaplamaktan) XOR'u hesaplamanın faydalı olabileceğini unutmayın.

Eşdeğer olarak, bir ikili matris A'ya ve bir X vektörüne sahip olduğumuzu ve hedefin, Y vektörünü hesaplamaktır ki öyle ki AX = Y, tüm işlemlerin GF (2) 'de minimum sayıda işlem kullanılarak yapıldığı yerlerde.

A'nın her sırası tam olarak k olduğunda bile (d = k =) ilginçtir. Bu sorunun karmaşıklığını (yaklaşımın sertliğini) bilen var mı?

Mohammad Salavatiopur

Bu NP zor. Bakınız: Joan Boyar, Philip Matthews, René Peralta. Kriptolojiye Uygulamaları ile Mantık Minimizasyon Teknikleri. http://link.springer.com/article/10.1007/s00145-012-9124-7

Azaltma Vertex Cover'dan ve çok güzel.

M = ile bir grafik | E | , bir m × ( n + 1 ) A matrisini şöyle tanımlayın : j < n + 1 ve ( i , j ) ∈ E ve A [ i , n ise A [ i , j ] = $(\{1,\ldots,n\},E)$$m=|E|$$m \times (n+1)$$A$$A[i,j] = 1$$j < n+1$$(i,j) \in E$ . Verilen diğer bir deyişle, n + 1 değişkenler X 1 , ... , x , n + 1 biz hesaplamak istiyoruz m biçimleri doğrusal x i + x j + x , n + 1 için tüm ( i , j ) ∈ e .$A[i,n+1] = 1$$n+1$$x_1,\ldots,x_{n+1}$$m$$x_i+x_j+x_{n+1}$$(i,j) \in E$

Küçük bir düşünce, doğrusal dönüşüm A'yı yalnızca m + k geçitlerle hesaplayan fan-in iki kapılı için bir XOR devresi olduğunu gösterir; burada k , grafik için en uygun tepe kapağıdır. (Birinci işlem x i ' + x n + 1 için tüm i ' kullanılarak tepe kapağı, k işlemleri. Lineer formlar sonra tüm hesaplanabilir olan m fazla işlemler.) Bu da en küçük boyut devresi olduğu ortaya çıktı!$A$$A$$m+k$$k$$x_{i'} + x_{n+1}$$i'$$k$$m$

İndirgemenin doğru olduğunun kanıtı çok hoş değil. Bu azaltmanın doğru olduğuna dair kısa bir kanıt görmek isterim.