Değişmeli olmayan bir grubun elementlerinin permütasyonu ile neyin başarılabileceğini belirlemek

11

Sonlu bir grup sabitleyin . Aşağıdaki karar sorunuyla ilgileniyorum: girdi, üzerinde kısmi bir düzen bulunan bazı unsurlarıdır ve soru, düzeni tatmin eden unsurların bir permütasyonu olup olmadığı ve buradaki elemanların bileşimi sipariş grubun nötr elementini verir . $G$ $G$ $e$

Resmi olarak, testi problemi $G$ aşağıdaki gibidir, burada grubu sabittir: $G$

Girdi: sonlu kısmi sıralı grubu bir etiketleme fonksiyonu dan için . $(P, <)$ $\mu$ $P$ $G$
Çıktı: doğrusal bir uzantısı olup olmadığı (yani tüm , anlamına gelen toplam bir sıra ), böylece öğelerinin yazılması toplam emirlerini olarak , elimizdeki $P$ $(P, <')$ $x, y \in P$ $x < y$ $x <' y$ $P$ $<'$ $x_1, \ldots, x_n$ . $\mu(x_1) \cdot \cdots \cdot \mu(x_n) = e$

Herhangi bir grubu için , testi problemi açıkça NP'dedir. Sorum şu: Bir grup var mıdır öyle ki -test sorun NP-zor? $G$ $G$ $G$ $G$

Eşdeğer sorun ifadeleri hakkında birkaç açıklama:

Posetlerin ve lineer uzantıların dili, DAG ve topolojik sıralamaların diliyle eşdeğer olarak değiştirilebilir. Yani, isterseniz, girdiyi grup elemanları ile etiketlenmiş köşeleri olan bir DAG olarak düşünebilir ve çıktı, DAG girişinin bazı topolojik türünün elde edip etmediğini sorar . $e$
Bunun yerine bir poset ve verildiğinde daha zor bir problem düşünülebilir ve ( yerine ) gerçekleştirilip gerçekleştirilemeyeceğini sorabiliriz . Aslında güçlü sorun, yukarıda azaltır: Biz sormak için ile gerçekleştirilebilir , bir ancak bir eleman etiketlenmiş diğerlerinden daha küçüktür. Dolayısıyla yukarıdaki tanımda doğal seçimi . $(P, <)$ $g \in G$ $g$ $e$ $e$ $(P', <)$ $P'$ $P$ $g^{-1}$ $e$

Şimdi, sorunu çözme girişimlerim hakkında:

Tabii ki, eğer grubu değişmeli ise, tüm doğrusal uzantılar aynı grup öğesine ulaştığından , testi problemi açıkça PTIME'dadır, bu yüzden bunlardan herhangi birini topolojik sıralama ile seçebilir ve olup olmadığını kontrol edebiliriz . Yani ilginç durum değişmeli olmayan . Daha genel olarak, eğer önemsiz olmayan bazı değişmeli gruba (örneğin, permütasyonların imzası ) bir homomorfizmaya sahipse , gerekli fakat yeterli olmayan bir durum, homomorfizm yoluyla soruna bakmak ve değişmeli görüntüde PTIME'de kontrol etmektir. . Bunun tüm sonlu gruplar için bir ayrışma şemasına genelleme yapıp yapamadığını göremiyorum. $G$ $G$ $e$ $G$ $G$
Sipariş ilişkisi (yani, içinde elemanların MultiSet verilir boş ise ve istenilen her permutasyonu kullanabilir), problem durumları her öğe geçiş sayısı, dinamik programlama, çözülebilir hala kullanılmaz ( sabit olduğunu unutmayın , bu nedenle durum sayısı girişte polinomdur). $G$ $G$ $G$
Sabit genişlikte pozlar olan girişler için zincir ayrışmasını takiben dinamik bir algoritma kullanabiliriz. Bu nedenle, sertlik tutarsa, keyfi olarak geniş olan giriş postaları kullanıyor olmalıdır. Geniş pozlar için, dinamik bir programlama yaklaşımındaki olası "durumların" sayısının, genel olarak üstel olan ve polinom olmayan postanın rahatsızlık sayısı olacağına dikkat edin , böylece yaklaşım doğrudan çalışmaz.
Aynı sorun gruplar yerine monoidler için de araştırılabilir, ancak monoidler için, bir otomatın geçiş monoidini içeren ve önceki bir CStheory sorununun bir varyantına indirgenen oldukça kıvrımlı bir argüman ile zor olduğunu zaten biliyorum . Bunun tam kanıtı bu ön baskıdadır, ek D.1.3 ve D.1.4, ancak terminoloji çok farklıdır. Bu nedenle, testi PTIME olduğunda, grup elemanlarının ters çevrilebilirliğini kullanmak zorundadır. $G$
$e$

$G$ $G$ $G$ $G$ $\Sigma$ $A$ $\Sigma$ $A$ $\Sigma$ $A$

— a3nm
kaynak

G

$G$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

Burada Barrington'un teoremini (veya buna benzer bir şey) kullanmanın bir yolu var mı? Toplam siparişi seçerken yapılan seçimler arasında uzun vadeli korelasyonları nasıl ayarlayacağımı anlayamadığım için nasıl olduğunu anlayamıyorum, ama belki bir başkası nasıl yapılacağını görecek.

— DW

2

$G$ $G$

kanıt

$f(x) = -x$ $g_a(x) = x + a$

$G$ $f$ $g_a$

$G$ $\{f \circ g_a | a \in \mathbb{Z} \} \cup \{g_a | a \in \mathbb{Z} \}$

$G$

$a_1, a_2, ..., a_n$

$P$ $n+2$ $f$ $n$ $g_{a_i}$ $i = 1,..., n$

$g_p \circ g_q = g_{p+q}$ $f \circ g_p \circ f = g_{-p}$ $P$ $g_{\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i}$ $I$ $g_{a_i}$ $f$ $g_0$ $P$ $\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i = 0$ $\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

$G$ $I$ $\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

$G$ $G$

— Mikhail Rudoy
kaynak

G

$G$

G

$G$

1

Yazarımla, bu sorunu genel olarak normal diller için inceleyen bir ön baskı yayınladık . Sonlu gruplar söz konusu olduğunda, elementler üzerindeki kısmi düzenin bir zincir birliğinden meydana gelmesi durumunda sorunun izlenebilir (NL'de) olduğunu iddia ederiz: Teorem 6.2'ye bakınız. Genel DAG'lar için problemin de NL'de olduğuna inanıyoruz ve tekniği bu ayara genişletmek için bazı umutlar var, ancak bu soruya ilişkin bunun için bir içerik eksik - ayrıntılar için bkz. Preprint, Bölüm 6, "Sınırlamalar" paragraf sonunda, ikinci sınırlama.

— a3nm
kaynak