Fourier katsayıları, AND OR ve XOR geçitleriyle Sınırlı Derinlik Devreleri tarafından tanımlanan Boolean Fonksiyonları

Let bir Boole fonksiyonu olabilir ve en bir fonksiyonu olarak f düşünelim için . Bu dilde, f'nin Fourier genişlemesi, kare serbest monomiler açısından f'nin genişlemesidir. (Bu monomials bir gerçek fonksiyonların boşluğa temelini oluşturan . Katsayılarının karelerinin toplamı basitçe çok kare serbest monomials bir olasılık dağılımını sağlar. Bu dağıtıma F dağıtımı diyelim. $f$ $\{-1,1\}^n$ $\{ -1,1 \}$ $2^n$ $\{-1,1\}^n$ $1$ $f$

F, polinom büyüklüğünün sınırlı bir derinlik devresi ile tanımlanabilirse, o zaman L dağılımının, Mansour ve Nisan teoremiyle F dağılımının, neredeyse üssel olarak küçük bir ağırlıktaki boyutundaki monomiallere yoğunlaştığını . Bu Hastad anahtarlama lemmasından türetilmiştir. (Doğrudan bir kanıt en çok istenen durum olacaktır.) $\text{polylog } n$

Mod 2 gates eklediğimizde ne olur? Dikkate alınması gereken bir örnek fonksiyonudur ilgili ilk n değişkenlerinin mod 2 iç ürün ve son n değişkenleri olarak açıklanan değişkenler. Burada F dağılımı düzgün. $IP_{2n}$ $2n$

Soru : Sınırlı derinlik polinom büyüklüğü VE, VEYA, devresinde tanımlanan Boolean fonksiyonunun F dağılımı "seviyelerinde" konsantre (süperpinoynal olarak küçük hataya kadar) mı? $_2$ $o(n)$

Açıklamalar :

Bir karşı örnek için olası bir yol , ayrık değişken kümeleri üzerinde çeşitli IP “bir şekilde yapıştırmak” , ancak nasıl yapılacağını göremiyorum. Belki bir kişi soruyu zayıflatmalı ve değişkenlere ağırlık verilmesine izin vermelidir, ancak bunu yapmanın da net bir yolunu görmüyorum. (Bu yüzden bu iki meseleye atıfta bulunmak da benim istediğim şeyin bir parçası.) $_2k$
kapılarına izin verdiğinizde, soruya (veya başarılı bir varyasyona) verilen olumlu bir cevabın da geçerli olacağını tahmin ediyorum . (Bu yüzden soruyu sormak Ryan Williams'ın son zamanlardaki etkileyici ACC sonucu motive oldu.) $_k$
MAJORITY için F dağılımı her "seviye" için büyüktür (1 / poli).

Luca'nın gösterdiği gibi, sorduğum sorunun cevabı "hayır" dır. Geriye kalan soru, AND VEYA ve MAJORITY tarafından paylaşılmayan mod 2 kapılarının Boolean fonksiyonlarının F dağılımlarının özelliklerini bulma yollarını önermektir.

MONOTONE işlevlerinden bahsederek soruyu kaydetme denemesi:

Soru : monoton bir Boole fonksiyonunun F-dağılımı sınırlı derinlik polinom boyutu ve, OR, MOD tarafından tarif mi devre (kadar superpolynomially küçük hata) konsantre edildi "seviyeleri"? $_2$ $o(n)$

Biz bile yerini alabilir spekülasyon olabilir tarafından bu güçlü versiyonu için bir counterexample ilginç olabilir böylece. $o(n)$ $\text{polylog} (n)$

— Gil Kalai
kaynak

Çok güçlü bir varsayım gibi görünüyor, doğru olabileceğine dair kanıt varsa çok ilginç olurdu. Bunun arkasındaki sezgi, mod kapılı sabit derinlikli devreler için, düşük dereceli polinomlar gibi çok gürültüsüz veya parite gibi kusursuz bir şekilde rastgele olan fonksiyonlara sahip olabilirsiniz, ama orta gibi çoğunlukta bir şey yaratmak zor mu?

— Boaz Barak

Sevgili Boaz, (Güçlü önerilen ifadeye karşı bir örnek beklerdim.) Re: sezgi, "mükemmel rastgele" yerine "Bernouli-benzeri" yaz. Hatırladığım kadarıyla, tek bir mod k geçidi düşündüğünüzde, F-Dağılımı belirli bir Bernouli dağılımına benzer (yani | S | için ağırlık p ^ | S | (1-p) ^ {n- | S | Bazıları için p, mutlaka p = 1 / 2. Bu yüzden, mod k kapılı küçük sınırlı derinlik devrelerinin, F dağılımlarında manipüle edilmiş gibi göründüğü görülüyor ki, Bernouli, belki de "birkaç seviyede en fazla ağırlık" özelliğini dağıtıyor. Bernouli dağıtımlarının mülkü) tutulmaktadır

— Gil Kalai

Gil, böyle bir şey karşı örnek olur mu?

Let şekilde olması ve bir düşün bir çift olarak bitlik giriş burada , bir m-bit dizisi olan ve bir tam sayı olduğu aralığında ikili olarak yazılmış. $m$ $n=m+\log m$ $n$ $(x,i)$ $x$ $(x_1,\ldots ,x_m)$ $i$ $1,\ldots,m$

Daha sonra tanımlarız $f(x,i):= x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$

$i=1,\ldots,m$ $1/m$ $x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$ $1/m^2$

f (), derinlik-3'te gerçekleştirilebilir: tüm XOR'ları bir katmana koyun ve sonra "seçimi" iki ANDs, ORs ve NOTs katmanında yapın (NOT'ları her zamanki gibi derinliğe ekleme olarak saymayın).

— Luca Trevisan
kaynak

evet Luca, haklı görünüyorsun.

— Gil Kalai