Simetrik polinomların değerlendirilmesi

Let bir olmak simetrik polinom polinom bu şekilde, yani, Tüm ve tüm permütasyonlar . Kolaylık sağlamak için, hesaplama modeliyle ilgili sorunları gidermekten kaçınmak için nin sonlu bir alan olduğunu varsayabiliriz . $f:\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}$ $f(x)=f(\sigma(x))$ $x \in \mathbb{K}^n$ $\sigma \in S_n$ $\mathbb{K}$

Let işlem karmaşıklığını ifade , yani bir algoritma karmaşıklığı, verilen , geri dönüş . Bir şekilde karakterize Can özelliklerine göre, ? Örneğin, nin tüm simetrik polinomlar için polinom ( cinsinden olduğu garanti ediliyor mu? $C(f)$ $f$ $x$ $f(x)$ $C(f)$ $f$ $C(f)$ $n$ $f$

Özel bir durum olarak, (a) güç toplamı polinomlarını zaman cinsinden $\text{poly}(n)$ hesaplayabiliriz ve (b) temel simetrik polinomları zaman cinsinden hesaplayabiliriz $\text{poly}(n)$ , Newton'un kimliklerini kullanarak . Sonuç olarak, eğer $f$ değişkenin 1'den daha yüksek bir güce yükseltilmediği (yani, $f$ çok doğrusal ise) monomiyallerin ağırlıklı bir toplamı ise , o zaman $f$ polinom zamanda hesaplanabilir (çünkü ağırlıklı toplam olarak ifade edilebilir) temel simetrik polinomlar). Örneğin, $\mathbb{K}=GF(2)$ daha sonra her simetrik polinom, polinom zamanında hesaplanabilir. Bundan daha fazlası söylenebilir mi?

cc.complexity-theory permutations polynomials

— DW
kaynak

üzerinden hesaplama yapmak istiyorsanız, hesaplama modelini açıklığa kavuşturmak isteyebilirsiniz.

R

$\mathbb{R}$

— Kaveh

@Kaveh, ahh, mükemmel bir nokta. Sanırım herhangi bir alanda süper odaklı değilim, bu yüzden bu sorunu ortadan kaldırmak için sonlu alanlar hakkında soru soracağım. Ben sonuç veya simetrik polinom değerlendiren karmaşıklığını belirlemek için sistematik teknikler vardır olmadığı hakkında daha fazla ilgileniyorum .

f

$f$

— DW

F nasıl belirtilir? Bu, değerlendirmenin karmaşıklığı için çok önemlidir.

— Thomas

@Thomas, Önemli değil. Herhangi bir sabit , iyi tanımlanmıştır ( hesaplaması için en iyi algoritmanın karmaşıklığıdır ). Bu iyi tanımlanmıştır ve " nasıl " belirtildiğine bağlı değildir . (Not, . Gösterilmesi tanımlanması gerekir böylece algoritmaya bir giriş, değildir) ya da, başka bir şekilde ifade edilecek olursa bir simetrik fonksiyonu varsa I bilgi işlem istiyoruz, herhangi teknikler veya sonuçları bulunmaktadır hesaplamak için etkili bir algoritma bulmama yardım etmek ya da bilgisayarımın ne kadar verimli hesaplanabileceğini belirlemek için?

f

$f$

C (f)

$C(f)$

f

$f$

f

$f$

f

$f$

f

$f$

f

$f$

f

$f$

— DW

@Thomas, evet: derece çok büyük olmadığında geçerli sonuçlar veya teknikler varsa, bu kulağa yararlı geliyor. (Örneğin, her bir değişkenin wrt derecesi ayrı olarak ele alınırsa, en azından küçük bir sabit , bir şey söyleyebilir miyiz? Sorumun son paragrafı durumunu ele alıyor ; daha fazlasını söyleyebilir miyiz? Veya alternatif olarak, toplam derecesi çok büyük değilse, bir şey söyleyebilir miyiz?)

c

$c$

c = 1

$c=1$

f

$f$

— DW

Soru oldukça açık uçlu görünüyor. Veya belki de sonlu alanlar üzerinde herhangi bir simetrik polinomun zaman karmaşıklığının kesin bir karakterizasyonunu mı istiyorsunuz?

Her durumda, en azından bilgime göre, simetrik polinomların hesaplanmasının zaman karmaşıklığı hakkında iyi bilinen birkaç sonuç var:

Eğer o zaman polinom boyutlu homojen hesaplanabilmektedir sonlu alan üzerinde bir temel simetrik polinom devreleri. $f$ $TC^0$
Eğer karakteristik üzerinden temel bir simetrik polinom alan, o zaman polinom boyutlu derinlik hesaplanabilmektedir üç düzgün cebirsel devreler (zaten polinom Newton belirtildiği gibi ya da tarafından Lagrange interpolasyon formülü); ve bu yüzden bunun daha sonra polinom boyutlu tekdüze Boole devrelerine (belki de sabit derinlikte olmasa da) dönüştüğüne inanıyorum (ancak bu, çalıştığınız alana bağlı olabilir; basitlik için tamsayıların halkasını düşünebilirsiniz; simetrik polinomları her durumda hesaplamak için yeterli olduğunu düşündüğüm tamsayılar .) $f$ $0$ $TC^0$
Eğer sonlu alan üzerinde simetrik bir polinom daha sonra bir derin üç cebirsel devreler üzerinde alt sınır üstel vardır ([Grigoriyev ve Karpinsky 1998 Aşağıdaki] Grigoriyev ve Razborov (2000)). Ancak, yukarıdaki 1 de belirtildiği gibi, (iken sadece sabit derinlik Boole devre alt sınır, bu karşılık vardır küçük üniform Boole devreleri ; polinomları polinom zamanlı olarak hesaplanabilir olduğu da anlamına gelir). $f$ $f$ $TC^0$

Muhtemelen simetrik polinomun zaman karmaşıklığı hakkında daha bilinen sonuçlar var ...

— Iddo Tzameret
kaynak