Tanrı'nın Numarasının Etkileşimli Bir Kanıtı?

Son zamanlarda interaktif kanıtları öğreniyordum ve her şeyin teorik bir meraktan başka bir şey olup olmadığını ya da herhangi bir pratik uygulaması olup olmadığını merak ediyorum. Duşta başıma gelen bir örnekle başlayacağımı düşündüm:

Son zamanlarda "Tanrı'nın Numarası" = 20 olduğu haberi veriliyor. (Tanrı'nın sayısı, Rubik Küpünü çözmek için gereken minimum adım sayısıdır). Bu oldukça ilginç olsa da, küçük bir bükülme var ... Bu ders kitabında "normal" bir kanıt değil, polinom zaman doğrulanabilir anlamda. Bu kanıtın belirgin bir şekilde "kaba kuvvet" tadı var - bu demek istediğim, Dr Morley'in laboratuvarındaki adamlar, bu düzgün, sıkı alt sınırı bulmak için Google'ın devasa süper bilgisayarlarında milyarlarca ve milyarlarca küp kombinasyonu ile çalıştı.

Her neyse, soru şu: Dr Morley Davidson ve ekibinin dürüst olduğundan nasıl emin olabiliriz? Peki, matematiksel olarak titiz olmadığı için argümanı otoriteden pencereden dışarı atabilir. Bariz alternatif, kaynak kodunu kontrol edip her şeyi tekrar çalıştırarak, hesaplamaya yönelik kaynakların korkunç bir israfı gibi görünen kanıtı tekrar doğrulamaktır, bunun için ikna olmak isteyen herkesin kendi iş istasyonunda yapması gerekiyor - gerçek şüpheci için çok sıkıcı ve hoş olmayan bir öneri. Yani bu bir tür ontolojik deilema gibi görünüyor.

Bu yüzden inandığım şey tam olarak interaktif bir kanıta ihtiyaç duyduğumuz bir durum . Google'ın Süper Bilgisayarı tamamen güçlü ama aldatıcı bir Prover olabilir ve biz şüpheci, halkın anal üyeleri değilse de Polinom Sınırlı Doğrulayıcılardır. Bir şekilde "Oracle" ımızı polinom sayısını defalarca sorgulayabiliyor ve bu alt sınırdan ikna olabilseydik, haklı olduğu gerçeğinden, tüm makul şüphelerin ötesine ikna olabilirdik.

Öyleyse, Karar problemi "Tanrı'nın Numarası <20" ya da aşağıdaki gibi yeniden ifade edilebilir (gayri resmi)$\Pi_2^p$

Rubik Küpü'ndeki tüm başlangıç ​​kombinasyonları için, <= 20 adım atan, sol çözen bir çözüm vardır .$\alpha$$\beta$

(bunun doğru olup olmadığından emin değilim, ancak bir başlangıç ​​yapılandırması ve bir çözüm göz önüne alındığında, küpün gerçekten çözüldüğünü doğrulamak kolaydır , ve β boyutlarının her ikisi de küçüktür)$\alpha$$\beta$

ve "Tanrı'nın numarası 20'dir" Karar sorunu şu şekilde yeniden ifade edilebilir:

Tanrı'nın sayısı <20'dir ve Rubik küpünün 20 adım alan bir başlangıç ​​kombinasyonu için bir çözüm vardır.

Yani bunun için muhtemelen bir IP [n] kanıtı var. (bir kez daha, çalışmalarımı kontrol et)

Sorum iki yönlü

1. Bunu yapmanın gerçek bir yolu var mı?
2. Etkileşimli kanıtların "pratik" kullanımıyla ilgili başka hangi örnekler var?

$\Pi_2^p$

$\rm{PH} \subseteq P^{\#P}$$L\in \rm{PH}$

Tekniklerini kullanarak Shamir IP = PSPACE olduğunu kanıtladı .

Daha önce tüm IP'lerin sıfır bilgi kanıtı olduğu kanıtlanmıştı , bu yüzden:

PSPACE'deki tüm diller sıfır bilgi etkileşimli kanıtlara sahiptir.

$20$$G$$s=\langle U, U', U^2, D, D', D^2,\cdots\rangle$$m$$\epsilon$$\pi$

$n\lt m$$n\ge m$$\pi$$A\subset G$ $\mathsf{AM}$

$\vert s \vert=18$$m$

• $n\ge m$$\epsilon$$g\in G$$\frac{18^n}{\vert G \vert}$$g$$s$$\le n$

• $n \lt m$$k=\vert A\vert$$g\in G$$g$$\frac{18^n}{2 \vert G \vert}$$\le n$

$\epsilon$$\frac{1}{10^9}\vert G\vert$$k$$\frac{1}{10}\vert G\vert$

$n$

1. $g\in G$$h$$G$$\frac{18^n}{\vert G \vert}$$y$$h$
2. Merlin, Arthur'a bir kelimesi söyler$W$$n$$g$
3. $W$$h(W)=y$$\le n$$g$
4. Arthur ve Merlin gerektiğinde çoğaltmak için tekrar eder

Çünkü, sanırım gruplar için, karıştırma süresi en azından çaptır (Tanrı'nın numarası), bu aynı zamanda Tanrı'nın büyük bir grubun sayısını sınırlamak için bir Arthur-Merlin kanıtı sağlar.