Superlogaritmik devre karmaşıklığı alt sınırları olan 1 değişkende açık polinomlar?

Argümanları sayarak, 1 değişkeninde n derecesinde polinomların (yani devre n karmaşıklığına sahip mevcut olduğu gösterilebilir. Ayrıca, gibi bir polinomun en az çarpımı gerektirdiğini gösterebilir (yeterince yüksek bir derece elde etmek için buna ihtiyacınız vardır). 1 değişkente karmaşıklığa bağlı süperlogaritmik bir alt limite sahip polinomların açık örnekleri var mı? (herhangi bir alandaki sonuçlar ilginç olurdu) $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0)$ $x^n$ $\log_2 n$

— matt hastings
kaynak

Devre karmaşıklığı

ile ilgili sınırlı bir alanda aklınıza gelen örnekler var mı? Bir sayım argümanının sonsuz bir alanda nasıl çalışacağını görmüyorum ve rasyonlar üzerinde eminim ki Paterson-Stockmeyer'in

n

$n$

bağlı sıkı (aşağıdaki yanıta da bakınız).

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— Joshua Grochow

Bahsettiğiniz sqrt (n) sınırı, çarpma sayısının (herhangi bir alanın üzerinde) sadece bir üst sınırdır, ancak hem toplama hem de çarpma işlemlerini işlem olarak sayarsak, hemen hemen her polinom için sonsuz bir alanda n işlemine ihtiyacımız vardır, çünkü polinomda n ayrı katsayı vardır ve n'den daha az işlemle tüm olası polinomları değerlendirmenin bir yolu yoktur (buna sayım argümanı olarak adlandırılıp adlandırılmayacağından emin değilim).

— mat hastings

\sum a_{i} x^{i}

$\sum a_i x^i$

x

$x$

a_{i}

$a_i$

a_{i}

$a_i$

Demek istediğim: devre toplama ve çarpma kapılarından oluşur. Belirli bir geçit için girişler, önceki geçitlerin veya x'in veya bazı sabitlerin çıkışları olabilir. Soru şudur: belirli bir polinom için, bu devrede hesaplamak için bir devre ve sabitlerin seçimini bulabilir miyiz? Ancak, polinomların (n + 1) boyutlu bir uzayına sahibiz, ancak n kapısından daha az olan bir devrenin yapısını sabitlersek ("yapı" ile, yani hangi kapıların diğer kapıların çıktılarını kullandığını ve sabitlerin olası seçimleri, hesaplanabilen polinomların n boyutundan daha az bir boşluğunu verir.

— mat hastings

Btw --- aldığım izlenim, katsayılar üzerinde daha fazla kısıtlama olmaksızın R veya C üzerinde açık örnekler oluşturmanın çoğunlukla çözülmüş olduğudur. Öte yandan, a_i katsayılarının tamsayı olduğu ve çok hızlı büyümediği açık örnekler oluşturmak, hala açık mı? Bahsettiğiniz ankette tüm tamsayı sabitleriyle bir örnek var, ancak bunlar katlanarak iki kat büyüyor.

— mat hastings

$n$ $(a_1, \dotsc, a_n)$ $\prod_{i=1}^{n} (x - a_i)$ $\Omega(\sqrt{n})$

$\sqrt{n}$ $\sum_{i=1}^{n} 2^{2^{i}} x^{i}$ $\sum_{i=1}^{n} e^{2 \pi i / 2^{i}} x^{i}$ $\sum_{i=1}^{n} i^{r} x^{i}$ $r$

— Joshua Grochow
kaynak

Teşekkürler. Yani, açık problem şu ki, eklemeler operasyonlar olarak da sayılırsa, n operasyona ihtiyaç duyan birini inşa etmek amacıyla, sqrt (n) operasyonlardan daha fazlasına ihtiyaç duyan bir polinom inşa edilebilir. Buna yönelik herhangi bir sonuç var mı? (Çünkü sadece sqrt (n) çarpma ihtiyacı yöntemde, şüpheliyim, eklemeler bazı matris çarpma vermek ve bu muhtemelen bir matris-sayıl çarpım karmaşıklığına sınırlarını düşük azaltır)

— mat Hastings