Semidefinite programlama (SDP) dualite boşluğu ne zaman sıfırdır?

10

Literatürde SDP dualite boşluğunun ortadan kalktığının kesin bir karakterizasyonunu bulamadım. Veya "güçlü ikilik" ne zaman geçerli?

Örneğin, bir kişi Lasserre ve SOS SDP arasında gidip geldiğinde, prensipte bir dualite boşluğu vardır. Ancak, bir şekilde bu boşluğun orada olmamasının "önemsiz" bir nedeni var gibi görünüyor.

Slater'in durumu yeterli, ancak gerekli görünmüyor ve tüm dışbükey programlar için geçerli. SDP'ler için özellikle daha güçlü bir şeyin gerçek olabileceğini umuyorum. Dualite boşluğunun ortadan kalktığını kanıtlamak için Slater'ın koşullarını kullanmanın açık bir örneğini görmek beni de mutlu eder .

— Mezun Öğrenci
kaynak

10

SDP'ler için daha karmaşık bir dualite teorisi var, bu kesin: Slater'in durumu gibi bir 'ekstra koşul' yok. Bu Ramana'dan kaynaklanıyor . (Bu SOS ile ilgili bir başka görüş için bkz. [KS12] .) Dürüst olmak gerekirse, bu kağıtları asla anlamaya çalışmadım ve birisi onları benim için aptallaştırırsa mutlu olurum.

Bu çalışmanın dikkate değer bir sonucu, belirli bir SDP'nin uygulanabilir olup olmadığını test etme sorununun yalnızca ve ancak coNP'de olması durumunda NP'de olmasıdır. (Ancak, uzmanların sorunun hiçbirinde olmasını beklemediğini düşünüyorum. Bilinen en iyi üst sınır PSPACE'dir.)

— Ryan O'Donnell
kaynak

Çok yararlı cevap için çok teşekkürler! Şuna bakayım! (Son haftalarda Daniel Kane ile derin net devre alt sınırlarında makalenizi de çalışmaya çalışıyorum ne kadar tesadüf! ReLU gibi gerçekçi aktivasyonlar.)

— kademeli

9

standart biçimindeki SDP için Slater'ın durumu , afin kısıtlamalarını karşılayan pozitif bir kesin varlığına . Bu, kombinatoryal optimizasyon / yaklaşım algoritmaları literatüründe bulabileceğiniz herhangi bir SDP için memnun olduğunu tahmin ediyorum. Örneğin, Goemans-Williamson Max-Cut SDP için, fizibilite kısıtlamaları ve özdeşlik matrisi olumlu, kesin ve uygulanabilir bir çözümdür.

min {t r (C^{T} X) : t r (A_{1}^{T} X) = b_{1}, \dots, t r (A_{m}^{T} X) = b_{m}, X ⪰ 0},

$\min\{ \mathrm{tr}(C^T X): \mathrm{tr}(A_1^T X) = b_1, \ldots, \mathrm{tr}(A_m^T X) = b_m, X \succeq 0\},$

X ≻ 0

$X\succ 0$

t r (A_{i}^{T} X) = b_{i}

$\mathrm{tr}(A_i^T X) = b_i$

{X : X_{1, 1} = 1, \dots, X_{n, n} = 1, X ⪰ 0}

$\{X: X_{1,1} = 1, \ldots, X_{n,n} = 1, X\succeq 0\}$

Lasserre / Kareler Toplamı hiyerarşisine gelince, Lasserre , polinom kısıtlamaları tarafından belirlenen uygulanabilir kümenin bir iç noktaya sahip olması durumunda, o zaman ikilik boşluğu olmadığını gösterdi. Bu makalede daha zayıf bir durum bulabilirsiniz .

— Sasho Nikolov
kaynak

Referanslar için çok teşekkürler! Dönüştürülmüş Slater'ın durumu SDP için de gerekli bir koşul mu? Yoksa başka gerekli koşullar var mı? (Yakında bahsettiğiniz makalelere bakacağım ama "zayıf durum" ile kastettiğiniz hakkında bir şey söyleyip söyleyemeyeceğinizi merak ediyor muydunuz? Yani ikinci makaledeki durum hala yeterli bir koşul ve gerekli değil ancak ilk makalede yeterli koşuldan daha mı basit?)

— gradstudent 15:16

Bu standart Slater koşulu, sadece SDP'ler için uzmanlaştım, bu da işleri basitleştiriyor çünkü PSD kısıtlaması hariç tüm kısıtlamalar afin. Bu koşul gerekli değildir. Ben de her iki SoS koşulunun da gerekli olduğunu düşünmüyorum, ama "zayıf" olanı bir iç noktanın varlığını gerektirmiyor, bu yüzden doğrulaması daha kolay olabilir.

— Sasho Nikolov

Teşekkürler! Yani gerekli bir durum bilinmiyor mu?

— 16:18

1

Güçlü dualitenin ne zaman tutulduğu ya da {\ em all} objektif işlevleri için başarısız olduğu konusunda güzel (sanırım ....) bir karakterizasyon vardır.

Semidefinite {\ em system}

$(P_{SD}) \,\, \sum_{i=1}^m x_i A_i \preceq B$

SDP'nin uygulandığı nesnel bir işlev ise kötü davranır. $c$

$\sup c^T x \,\, s.t. \,\, \sum_{i=1}^m x_i A_i \preceq B$

sonlu bir optimal değere sahiptir, ancak çift SDP'nin aynı değere sahip bir çözümü yoktur: yani, bazıları için güçlü dualite başarısız olur $c.$

$(P_{SD})$ olduğu iyi huylu o kötü davrandım değilse. Yani, her objektif fonksiyon için güçlü dualite geçerlidir. (Yani, primal SDP'nin sınırlı bir optimal değere sahip olduğu her için, ikili aynı değere sahip bir çözüme sahiptir). $c$

Tabii ki, Slater'in durumu geçerliyse, iyi davranır, ancak tersi doğru değildir. $(P_{SD})$

https://arxiv.org/pdf/1709.02423.pdf

Makale yakında SIAM Review'de yayınlanacak. Umarım insanlar beğenir :)

— Yasak Bölge 9
kaynak