PA'nın göreceli tutarlılığı ve bazı tür teorileri

Bir tip teorisi için, tutarlılık ile, yani yerleşik olmayan bir türe sahip olduğunu kastediyorum. Lambda küp güçlü normalleşme bakıldığında, o sistemi izler ve sistem F ω tutarlıdır. MLTT + endüktif tiplerinin de normalleştirme kanıtı vardır. Bununla birlikte, bunların hepsi PA'nın bu teorilerle tutarlı olduğunu kanıtlayan bir PA modeli oluşturacak kadar güçlü olmalıdır. Sistem F olduğu oldukça güçlü Bence kilise rakamları kullanılarak bir model oluşturarak PA tutarlılığını ispat edebilmek için bekliyoruz yüzden. MLTT + IT'nin doğal sayılarla endüktif tipi vardır ve tutarlılığı da kanıtlamalıdır.$F$$F_\omega$$F$

Tüm bunlar, bu teoriler için normalizasyon kanıtlarının ÖİB'de içselleştirilemeyeceği anlamına gelir. Yani:

1. Sistem , sistem F ω ve MLTT + IT aslında PA'nın tutarlılığını kanıtlayabilir mi?$F$$F_\omega$
2. Eğer yapabilirlerse, , F ω ve MLTT + IT sistemi için normalleşmeyi kanıtlamak için hangi meta-teori gereklidir?$F$$F_\omega$
3. Genel olarak tür teorilerinin kanıt teorisi için mi yoksa özellikle bu tür teorilerin bazıları için iyi bir referans var mı?

1. sorunuzun kısa cevabı hayır , ama belki de ince nedenlerden kaynaklanmaktadır.

$F$$F_\omega$ $\mathrm{PA}$

$\mathrm{PA}$$\in\{\varnothing,\{\bullet\}\}$$\bullet$$\rightarrow$$\forall$$F$$\forall X.X$$\varnothing$$F_\omega$

$\mathrm{PA}$

$p$$\phi$$p\Vdash \phi$$\phi$$p$$p\not\Vdash\bot$

Teorem: Eğer 2. dereceden aritmetik teoremiyse, sisteminin bazı kapalı terimi vardır, öyle ki$\phi$$\mathrm{PA}_2$$t$$F$

$$t\Vdash\phi$$

Bu teorem ile kanıtlanabilir ve bu nedenle ve Gödel'in argümanı geçerlidir (ve , sisteminin normalleştiğini kanıtlayamaz ). Ters çıkarımın da geçerli olduğunu belirtmek yararlıdır, bu nedenle sisteminin normalleşmesini kanıtlamak için gereken kanıt-teorik gücün kesin bir karakterizasyonuna sahibiz .$\mathrm{PA}$

$$\mathrm{PA}\vdash F\mbox{ is normalizing}\Rightarrow\mbox{$\mathrm{PA}_2$ is consistent}$$ $\mathrm{PA}$$F$$F$

sistemi için benzer bir hikaye var, sanırım daha yüksek aritmetik .$F_\omega$$\mathrm{PA}_\omega$

---

Son olarak, endüktif tiplerde zor MLTT vakası var. Burada yine biraz ince bir sorun ortaya çıkıyor. Kesinlikle burada nın tutarlılığını ifade edebiliriz , bu bir sorun değildir ve kanıtla alakasız bir model yoktur, çünkü türünün en az 2 öğeye sahip olduğunu kanıtlayabiliriz (bir sınırsız sayıda farklı öğe).$\mathrm{PA}$$\mathrm{Nat}$

Bununla birlikte, şaşırtıcı bir şekilde yüksek dereceli sezgisel teorilerle karşılaşıyoruz: , Heyting Aritmetiğin yüksek dereceli versiyonu üzerinde muhafazakar ! Özellikle, ( ile eşdeğerdir) tutarlılığını kanıtlayamayız . Bunun sezgisel bir nedeni, sezgisel işlev alanlarının keyfi alt kümesini izin vermemesidir , çünkü tüm tanımlanabilir işlevler hesaplanabilir olmalıdır.$\mathrm{HA}_\omega$$\mathrm{HA}$$\mathrm{PA}$$\mathrm{HA}$$\mathbb{N}$$\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

Özellikle, MLTT'ye evrenler olmadan yalnızca doğal sayılar eklerseniz tutarlılığını kanıtlayabileceğinizi sanmıyorum . Ya evrenler ya da "daha güçlü" endüktif tipler (sıralı tipler gibi) eklemenize yetecek kadar güç vereceğine inanıyorum, ama bunun için referansım yok. Evrenlerde, bu argüman oldukça basit görünüyor, çünkü bir modeli oluşturmak için yeterli teori ayarladınız .$\mathrm{PA}$$\mathrm{HA}$

---

Son olarak, tip sistemlerin ispat teorisine referanslar: bence buradaki literatürde gerçekten bir boşluk var ve tüm bu konulara temiz bir şekilde bakmaktan memnun olurum (aslında, bir gün kendim yazmayı hayal ediyorum!). Bu arada:

• Kanıtla ilgili olmayan model, Miquel ve Werner tarafından burada açıklanmaktadır , ancak bunu biraz zorlaştıran İnşaatlar Hesabı için yapıyorlar.

• Gerçekleşebilirlik argümanı Girard, Taylor ve Lafont'un klasik Kanıtları ve Türlerinde belirtilmiştir. Sanırım kanıtla alakasız modeli ve çok sayıda yararlı şeyi de çiziyorlar. Muhtemelen ilk okuma referansıdır.

• Üst düzey Heyting aritmetiğinin muhafazakarlık argümanı, Troelstra ve van Dalen tarafından Matematikte Yapılandırmanın anlaşılması zor ikinci cildinde bulunabilir ( buraya bakınız ). Her iki cilt de son derece bilgilendiricidir, ancak acemi IMHO için okunması oldukça zordur. Kitapların yaşı göz önüne alındığında şaşırtıcı olmayan "modern" tip teori konularını da bir şekilde önler.

---

Yorumlardaki ek bir soru, MLTT + İndüktiflerin kesin tutarlılık gücü / normalizasyon gücü hakkındaydı. Burada kesin bir cevabım yok, ama kesinlikle cevap evrenlerin sayısına ve izin verilen endüktif ailelerin doğasına bağlıdır. Rathjen bu soruyu bazı Martin-Lof Tipi Teorilerin Gücü adlı mükemmel makalede araştırıyor .

Normalleştirme, temel fikir şu ki, eğer 2 teori için ve , $\cal{T}$$\cal{U}$

$$\mathrm{PA}\vdash\mathrm{Con}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Con}(\cal{U})$$

o zaman, genellikle

$$\mathrm{PA}\vdash \mbox{1-$\mathrm{Con}$}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Norm}(\cal{U})$$

1- burada olan 1-tutarlılık ve (zayıf) normalleştirme.$\mathrm{Con}$$\mathrm{Norm}$

MLTT + doğal sayıların türü (ve özyineleme) Besson Özyinelemeli Kuramlar için Özyinelemeli Modellerde kanıtlanmış omega'nın muhafazakar bir uzantısıdır .$\mathrm{HA}_\omega$

İndüksiyon-özyineleme veya indüksiyon-indüksiyon ile MLTT'ye göre, durumun ne olduğunu bilmiyorum ve AFAIK, kesin tutarlılık gücü sorunu hala açık.