Tropik semirlerde polinomların VC boyutu?

Olduğu gibi bu soruya, ben ilgi duyuyorum vs / sorun için tropikal ve devreleri. Bu soru, tropik semirlerde polinomların VC boyutu için üst sınırların gösterilmesine azalmaktadır (aşağıdaki Teorem 2'ye bakınız). $\mathbf{BPP}$ $\mathbf{P}$ $\mathrm{poly}$ $(\max,+)$ $(\min,+)$

Let $R$ bir semiring olabilir. Bir sıfır model bir dizinin $(f_1,\ldots,f_m)$ ait $m$ polinomların $R[x_1,\ldots,x_n]$ bir alt kümesi, $S\subseteq \{1,\ldots,m\}$ olan orada ana kadar $x\in R^n$ ve $y\in R$ tüm $i=1,\ldots,m$ , $f_i(x)= y$ iff $i\in S$ . Yani, içinde polinomlarının grafikleri noktasına . ( "Sıfır-model" için durum ile ikame edilmiş olabilir Let.) $f_i$ $i\in S$ $(x,y)\in R^{n+1}$ $f_i(x)=y$ $f_i(x)-y=0$ $Z(m)$ bir dizi sıfır desen olası en yüksek sayısını = $m$ en derece polinom $d$ . Bu nedenle, $0\leq Z(m)\leq 2^m$ . Vapnik-Chervonenkis boyut derecesi $d$ polinomların olduğu $VC(n,d) := \max\{m\colon Z(m)=2^m\}$ .

Not: Genellikle, VC boyutu bir grup ailesi için ${\cal F}$ en büyük kardinalite $|S|$ bir dizi ait $S$ olduğu bu $\{F\cap S\colon F\in{\cal F}\}=2^S$ . Bu çerçevede uyması için, her çifti ile ilişkilendirebilir $(x,y)\in R^{n+1}$ grubu $F_{x,y}$ her polinomların $f$ derece $\leq d$ olan $f(x)=y$ tutar. Daha sonra bu tür tüm kümelerinin ailesinin VC boyutu tam olarak . ${\cal F}$ $F_{x,y}$ $VC(n,d)$

üzerindeki önemsiz bir üst sınır $m=VC(n,d)$ , $m\leq n\log |R|$ ( olası tüm desenlere sahip olmak için en az $2^m$ farklı vektör ihtiyacımız vardır ), ancak sonsuz yarılanmalarda işe yaramaz. VC boyutunda iyi üst sınırlara sahip olmak için, üzerinde iyi üst sınırlara ihtiyacımız var . Alanlar üzerinde bu sınırlar bilinmektedir. $x\in R^n$ $2^m$ $Z(m)$

Teorem 1: Herhangi bir alanında , . $R$ $Z(m)\leq \binom{md+n}{n}$

Benzer üst sınırlar daha önce Milnor , Heintz ve Warren tarafından kanıtlanmıştı ; kanıtları gerçek cebirsel geometriden ağır teknikler kullanır. Buna karşılık, Ronyai, Babai ve Ganapathy (aşağıda verdiğimiz) tarafından Teorem 1'in yarım sayfalık bir kanıtı , doğrusal cebirin basit bir uygulamasıdır.

Küçük 'leri tatmin edici arayarak , herhangi bir alanın üzerinde kalır . Görünümünde genel / , burada önemli olan bir boyut tek olmasıdır logaritmik derecesi, . Bu önemlidir, çünkü polinom büyüklüğündeki devreler üstel derecedeki polinomları hesaplayabilir ve Haussler'in PAC öğrenmesindeki bir sonucu ( bu makalenin 114. sayfasında bulunan Sonuç 2 ) aşağıdakileri verir (deterministik devrelerin çoğunluk oyu kullanmasına izin verildiğini varsayarsak) değerlerini çıktılamak için). $m$ $\binom{md+n}{n} < 2^m$ $VC(n,d)=O(n\log d)$ $\mathbf{BPP}$ $\mathbf{P}$ $\mathrm{poly}$ $d$

Teorem 2: $\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P}/\mathrm{poly}$ , nin ve de sadece polinom olduğu herhangi bir dönemindeki devreleri tutar . $R$ $VC(n,d)$ $n$ $\log d$

Bkz burada Häußler en sonuç Teoremi 2 ima nasıl.

Özellikle, Teorem 1'e göre, herhangi bir alanı . (İlginç olan sadece sonsuz alanlar için geçerlidir: sonlu olanlar için, çok daha basit argümanlar işe yarar: Chernoff o zaman işi yapar.) Ama alan olmayan hatta halka olmayan (sonsuz) semirlere ne olacak ? Dinamik programlama ile motive olan, çoğunlukla tropikal ve semirlerle ilgileniyorum, ancak diğer "alan dışı" (sonsuz) semirler de ilginç. Bu fazla Not , bir çok terimli semiring ile ve $\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P}/\mathrm{poly}$ $(\max,+)$ $(\min,+)$ $(\max,+)$ $f(x)=\sum_{a\in A} c_a\prod_{i=1}^n x_i^{a_i}$ $A\subseteq\mathbb{N}$ $c_a\in \mathbb{R}$ , maksimizasyon sorununa dönüşüyor ; derecesi (geleneksel olarak) tüm maksimum . $f(x)=\max_{a\in A}\ \{c_a+a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\}$ $f$ $a_1+\cdots+a_n$ $a\in A$

Soru: polinomlarının tropik semirlere göre dereceleri VC boyutu polinom mu? $\leq d$ $n\log d$

İtiraf ediyorum, bu hızlı bir cevap beklemek oldukça zor bir soru olabilir: tropikal cebir oldukça "çılgın". Ama belki birisinin neden (varsa) tropik polinomların gerçek polinomlardan daha fazla sıfır örüntü üretebileceği konusunda bazı fikirleri vardır? Ya da neden “yapmamalılar”? Veya ilgili bazı referanslar.

Ya da, belki de, Babai, Ronyai ve Ganapati'nin kanıtı (aşağıda) tropikal semirler üzerinde çalışmak için bir şekilde "bükülebilir" mi? Veya diğer sonsuz sınırlar boyunca (bunlar alan değildir)?

Teoreminin 1 ispatı: bir dizi olduğunu varsayalım sahip farklı sıfır desenleri ve izin , bu sıfır kalıplarına tanık. Let şahit sıfır desen -inci vektör ve polinomlar dikkate . Bu polinomların alanımız üzerinde doğrusal olarak bağımsız olduklarını iddia ediyoruz. Her bir bu durum talep teoremi kanıtını tamamlar en derecesine sahip ve en fazla derece polinom alan boyutu olan $(f_1,\ldots,f_m)$ $p$ $v_1,\ldots,v_p\in R^n$ $S_i=\{k\colon f_k(v_i)\neq 0\}$ $i$ $v_i$ $g_i:=\prod_{k\in S_i}f_k$ $g_i$ $D:=md$ $D$ $\binom{n+D}{D}$ . talebini kanıtlamak için, değerinin yalnızca durumunda ise not edilmesi . , önemsiz bir doğrusal ilişkinin . bir abonelik olsun kiarasında çok az ile . Değiştirin ilgili olarak. İken , elimizdeki tümü için , bir çelişki. $g_i(v_j)\neq 0$ $S_i\subseteq S_j$ $\lambda_1 g_i(x)+\cdots+\lambda_p g_p(x)=0$ $j$ $|S_j|$ $S_i$ $\lambda_i\neq 0$ $v_j$ $\lambda_jg_j(v_j)\neq 0$ $\lambda_ig_i(v_j)=0$ $i\neq j$ $\Box$

— Stasys
kaynak

Sorumun cevabının - evet: herhangi bir tropik dönemdeki değişkenler üzerindeki derece polinomlarının VC boyutu en fazla sabit kez fark ettim . Bu, yukarıdaki Teorem 1 kullanılarak gösterilebilir. Ayrıntılar için buraya bakın. Dolayısıyla, BPP P / poly aynı zamanda tropikal devreler ve dolayısıyla "saf" dinamik programlama algoritmaları için de geçerlidir. $\leq d$ $n$ $n^2\log(n+d)$ $\subseteq$

NB arada (25.06.2019 eklendi), sorunu çözdüm tamamen içinde bu yazıda . Başlangıçta hayal bile edemediğim bir genellikte. Tropikal durum burada çok, çok özel bir durum. Ve daha da merakla: diğer yazarların zaten bildiği (her açıdan derin) sonuçların uygun bir kombinasyonu ile.

Bu (BPP ve P / poli) yönde başka ne kaldı? Ortaya çıkan deterministik devrelerin boyutunun azalmasının yanı sıra (kendi başına ilginç bir soru).

— Stasys
kaynak