Yüksek trewidth ve sabit dereceli altgraf bulma

Bana bir grafik verildi $G$ile treewidth $k$ ve keyfi bir derece ve bir alt bölüm bulmak istiyorum $H$ nın-nin $G$ (uyarılmış bir alt paragraf olması gerekmez) $H$sabit bir dereceye sahiptir ve tere genişliği mümkün olduğunca yüksektir. Resmi olarak benim sorunum şu: bir derece bağlı seçerek$d \in \mathbb{N}$, "en iyi" işlev nedir $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ öyle ki, herhangi bir grafikte $G$ treewidth ile $k$, (Umarım verimli bir şekilde) bir alt bölüm bulabilirim $H$ nın-nin $G$ maksimum derecede $\leq d$ ve üçlü $f(k)$.

Açıkçası almalıyız $d \geq 3$ çünkü maksimum derecede yüksek treewthth grafikleri yoktur $<3$. İçin$d = 3$ Alabileceğini biliyorum $f$ öyle ki $f(k) = \Omega(k^{1/100})$ya da bu nedenle, Chekuri ve Chuzhoy'un ızgarası küçük ekstraksiyon sonucuna hitap ederek (ve yüksek trewidth derece-3 grafiğini, örneğin topolojik bir minör olarak bir duvarı çıkarmak için kullanarak), altgrafın hesaplanması uygulanabilir (RP'de) ). Bununla birlikte, bu ayrıntılı bir kanıtla çok güçlü bir sonuçtur, bu yüzden çok daha basit bir soruna benzeyen bir şey için kullanmak yanlış geliyor: Sadece belirli bir derece değil, herhangi bir sabit dereceli, yüksek treewidth altgrafı bulmak istiyorum. sonuç olarak. Ayrıca,$f$umduğum kadar iyi değil. Tabii ki yapılabileceği biliniyor$\Omega(k^{1/20})$ (hesaplamanın verimliliğinden vazgeçene kadar), ama böyle bir şey umarım $\Omega(k)$. Yani, bir grafik verildiğinde bunu göstermek mümkün mü$G$ üçlü genişlik $k$, bir alt bölümü var $G$ sabit derece ve doğrusal treewthth ile $k$?

Ben de tamamen aynı soruya ilgilenen kulüpler pathwidth ziyade treewidth. Yol genişliği için küçük ekstraksiyonu ızgaralamak için herhangi bir analog bilmiyorum, bu yüzden sorun daha gizemli görünüyor ...

Treewidth sparsifiers hakkındaki Julia Chuzhoy ve ben'in makalesine bakın. Biz treewidth ile en fazla 3 derece bir alt derece elde edebilirsiniz gösteriyoruz$\Omega(k/polylog(k))$ nerede $k$ treewthth $G$. https://arxiv.org/abs/1410.1016 Kanıt, grid reşit olmayanlar için olandan daha kısadır, ancak yine de bu kadar kolay değildir ve önceki birkaç araç üzerinde inşa edilmiştir.

Diyelim ki daha kolay bir hedef için karar verin - derece 4 ve ağaç genişliği $\Omega(k^{1/4})$o zaman ızgara benzeri küçükler üzerinde Reed ve Wood sayesinde çok daha kolay alabilirsiniz. https://arxiv.org/abs/0809.0724

Elde edebileceğiniz bir diğer kolay sonuç, aşağıda yer alan kanıtların bazıları için bir başlangıç ​​noktasıdır. Bir derece derecesi alabilirsiniz $\log^2(k)$ ve üçlü $\Omega(k/\mathsf{polylog}(k))$. Bunu başarmak için argüman için treewidth sparsifier kağıdını görebilirsiniz.