Matris çarpımının

Yaygın tüm inanılmaktadır $\epsilon > 0$ , daha çok kez, iki mümkündür $n \times n$ matrisler $O(n^{2 + \epsilon})$ süresi. Bazı tartışmalarburada.

Araştırmaya daha aşina olan bazı insanlara n'den bağımsız bir $k>0$ olduğunu düşünüyorlar mı diye sordum, öyle ki matris çarpımı için bir O ( n 2 log k n ) algoritması var ve ezici bir şekilde sezgileri varmış gibi görünüyorlardı. Cevap "hayır" dır ancak nedenini açıklayamadı. Yani, O ( n 2.001 ) zamanda yapabileceğimize inanıyorlar , ancak O ( n 2 log 100 n ) zamanda da yapamıyoruz .$n$$O(n^2 \log^k n)$$O(n^{2.001})$$O(n^2 \log^{100} n)$

Sabit bir k > 0'da $O(n^2 \log^k n)$ algoritması olmadığına inanmak için hangi sebepler var ?$k>0$

Bir çarpma için bir algoritma var $N \times N^{0.172}$ , bir ile matris $N^{0.172} \times N$ matris $N^2 \operatorname{polylog}\left(N\right)$ aritmetik işlemler. Bunun için kullanılan temel özdeşlik Coppersmith en kağıt "dikdörtgen matrislerin hızlı çoğalması", ancak bu yol açar neden için açıklama gelir $N^2 \operatorname{polylog}\left(N\right)$ yerine $N^{2 + \epsilon}$ Williams'ın ekinde olan kağıt , "yeni algoritmalar ve doğrusal eşik kapılı devreler için daha düşük sınırlar "

Bu sadece işe yarıyor, çünkü Coppersmith'in kimliği faydalanabileceğiniz ek bir yapıya sahip ve daha yeni MM algoritmaları bu yapıya sahip görünmüyor. Bununla birlikte, neden bu yaklaşımı $N \times N \times N$ matris çarpımına genişletmeyi umduğumdan emin değilim .

Şey, bir şey bildiğim tüm yapıların - hatta insanların önerdiği potansiyel yapıların ailelerinin bile (örneğin, Cohn-Umans yaklaşıyor, Coppersmith-Winograd'ın genelleştirilmeleri) bir algoritma ailesi üreteceğini düşünüyorum. $A_\epsilon$ zaman çalışan $O(n^{2+\epsilon})$ . O halde $O(n^2 poly(\log n))$ de çalışan tek bir algoritmaya sahip olmak için, mevcut yaklaşımlardan sadece asimptotik olarak daha iyi olması gerekmeyecek, ama gerçekten farklı görünmesi gerekecektir .

Büyük uyarı: Sanırım. Var olan yaklaşımları ne kadar değiştirmek / eklemek zorunda kalacağı hakkında gerçekten çok fazla düşünmedim, böylece zamanında $O(n^2 poly(\log n))$ içinde çalışan tek bir algoritma oluşturabiliyorlardı .

Josh Alman, CCC 2019 en iyi öğrenci ödülü ödülünü kazanan MM'nin bazı harika düşük sınır sonuçları gösterdi! http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2019/10834/pdf/LIPIcs-CCC-2019-12.pdf