İddia edilen faydalarına rağmen neden diferansiyel yaklaşım oranları standart oranlarla karşılaştırıldığında iyi çalışılmamıştır?

Yaklaşıklık oranının ( hedefleri ile ilgili problemler için ), - bazı algoritma ve tarafından döndürülen değer - optimum değer olduğu standart bir yaklaşım teorisi vardır . Ve başka bir teori, yaklaşıklık oranının , - verilen örnek için uygulanabilir bir çözümün en kötü değeri olduğu diferansiyel yaklaşımdır . Yazarlar klasik birinin üzerine bazı kesin avantajları vardır bu teori iddia. Örneğin: $\sup\frac{A}{OPT}$ $MIN$ $A$ $A$ $OPT$ $\inf\frac{\Omega-A}{\Omega-OPT}$ $\Omega$

aynı problemin sadece farklı gerçekleşmeleri olarak bilinen Minimum tepe noktası örtüsü ve Maksimum bağımsız küme gibi problemler için aynı yaklaşım oranını verir;
aynı sorunun maksimum ve minimum sürümleri için aynı oranı verir. Aynı zamanda standart teoride MIN TSP ve MAX TSP'nin çok farklı oranları olduğunu biliyoruz.
Sadece optimum değil, aynı zamanda pessimum olan mesafeyi de ölçer $\Omega$ . Vertex Cover söz konusu olduğunda standart yaklaşım teorisi $2$ en iyi üst sınır olduğunu söylüyor . Ancak esasen $2$ , pesimum ile optimum arasındaki maksimum orandır. Bu nedenle, bu algoritmanın, çözeltinin en kötü değere sahip çıkacağı garanti edilmektedir.

Pro argümanım: asimtotik analizde sabitleri ve düşük dereceli terimleri dikkate almıyoruz (burada Avi Widgerson'ın alıntısını hatırladım: "Başarılıyız çünkü doğru soyutlama seviyesini kullandığımız.") Ve bu algoritmanın kaynak kullanımını karşılaştırmak için soyutlama düzeyi. Ancak, yaklaşımı incelediğimizde, bir sebepten kaçınabileceğimiz yerlerdeki farkı ortaya koyarız.

Sorum şu

neden diferansiyel yaklaşım teorisi bu kadar zayıf incelenmiştir Yoksa ilgili argümanlar yeterince güçlü değil mi?

ds.algorithms approximation-algorithms approximation-hardness

— Oleksandr Bondarenko
kaynak

Bu kavramı daha önce hiç görmedim ve en azından ilginç olduğunu düşünüyorum. Cevapları çok merak ediyorum! (her ne kadar gerçek sebep "Doh, bunu hiç düşünmedim" veya "İspatlar zorlaşıyor" veya "Başladığımda diğer sonuçlarla karşılaştırılamaz" kadar önemsiz olsa da)

— Raphael

Yanıtlar:

İstem iki yorumu vardır "algoritması bir bulur -approximation sorun " $A$ $\alpha$ $P$ :

Sorun ise kolay biz iyi tahminini bulan bir algoritma beri oldukça iyi çözmek için. $P$
Algoritma ise iyi o iyi bir yaklaşım bulur beri. $A$

Yaklaşım faktörünün klasik tanımının ilk yorumu vurguladığını düşünüyorum. Sorunları , oldukça iyi çözmenin ne kadar kolay olduklarına göre sınıflandırıyoruz .

Diferansiyel yaklaşım oranının ikinci yoruma biraz daha fazla ağırlık verdiği görülmektedir: önemsiz algoritmaları (örneğin, sadece boş bir set veya tüm düğümlerin setini veren algoritmalar) "ödüllendirmek" istemiyoruz.

Tabii ki, her ikisi de geçerli bakış açılarıdır, ancak farklı bakış açılarıdır.

Soruyu biraz daha pratik bir bakış açısıyla da inceleyebiliriz. Ne yazık ki, tepe kapaklarının bu kadar doğrudan kullanımı yoktur, ancak tartışma uğruna, bu iki (biraz çelişkili) uygulamayı ele alalım:

Köşe kapağı: düğümler bilgisayar ve kenarlar iletişim bağlantılarıdır; tüm iletişim bağlantılarını izlemek istiyoruz ve bu nedenle her kenarın en az bir uç noktasının özel bir işlem yürütmesi gerekiyor.
Bağımsız küme: düğümler işçilerdir ve faaliyetleri arasındaki çatışmaları modeller; eşzamanlı olarak gerçekleştirilebilecek çatışmasız bir dizi etkinlik bulmak istiyoruz.

Şimdi her iki sorunun da önemsiz bir çözümü var: tüm düğümlerin kümesi bir tepe kapağı ve boş küme bağımsız bir kümedir.

Temel fark, tepe örtüsü probleminde önemsiz çözümün işi halletmesidir . Elbette, gereğinden fazla kaynak kullanıyoruz, ama en azından pratikte kullanabileceğimiz bir çözümümüz var. Bununla birlikte, bağımsız set problemiyle, önemsiz çözüm tamamen işe yaramaz . Hiç ilerleme kaydetmiyoruz. Kimse bir şey yapmıyor. Görev asla tamamlanmaz.

Benzer şekilde, neredeyse önemsiz çözümler karşılaştırabilirsiniz: köşe örtme maksimum eşleme uç noktaları oluşur ve bağımsız küme tamamlayıcısıdır . Yine, kesinlikle başvurumuzda işi hallediyor ve bu sefer iki faktörden daha fazla kaynak israf etmiyoruz. Ancak, yine tamamen yararsız, boş bir set olabilir. $C$ $I$ $C$ $C$ $I$

Bu nedenle, yaklaşık garantinin standart tanımı, doğrudan çözümün faydalı olup olmadığını bize bildirir. Köşe kapağının 2-yaklaşımı işi yapar. Herhangi bir tahmin garantisi olmayan bağımsız bir set tamamen işe yaramaz olabilir.

Bir anlamda, diferansiyel yaklaşım oranı çözümün "ne kadar önemsiz" olduğunu ölçmeye çalışır, ancak bu uygulamaların herhangi birinde önemli midir? (Herhangi bir uygulamada önemli mi?)

— Jukka Suomela
kaynak

İkinci bölümde ne anlama geldiğini anlamıyorum. Herhangi bir aşırı yakınlaşan köşe seçeneği, uygulanabilir bir tepe örtüsüdür, algoritmanın bunun için 2 yaklaşım olduğunu bilmemize gerek yoktur. Öte yandan, bağımsız küme için yaklaşık 2 yaklaşım bile çok uygun olmayan bir çözüm sağlayabilir. Dolayısıyla, görünmezlik tehlikesinin, bilinen yaklaşık sınırlara (değil) değil, soruna bağlı olduğu görülmektedir.

— Raphael

@ Raphael: Maksimum bağımsız kümenin 2-yaklaşımı, tanım gereği, bağımsız bir kümedir (ve oldukça büyüktür; kesinlikle boş bir küme değildir).

— Jukka Suomela

Boş ver, çok hızlı oku. Ama yine de, senin fikrinin şöyle ifade edilmesi gerektiğini düşünüyorum: Yaklaşım garantisi olmayan bir algoritma işi VC durumunda yapar, ancak IS değil. (Oradaki elmaları ve armutları karşılaştırıyorsunuz, değil mi?) Ancak, bu çalışma garanti seçimi ile nasıl ilişkilidir ? Her ikisi de uygulanabilir çözümleri elde etmek için yapardı.

— Raphael

O (Δ)

$O(\Delta)$

+1 çünkü örnekler eğlencelidir. “Sorun kolay” ve “iyi bir algoritma var” arasında iyi tanımlanmış bir fark olduğunu düşünmüyorum ama bunu belirsiz bir düzeyde anlıyorum.

— Tsuyoshi Ito

Diferansiyel yaklaşım kavramına aşina değilim ve neden iyi çalışılmadığı konusunda herhangi bir teorim yok. Bununla birlikte, bir yaklaşım algoritmasının performansını tek bir ölçümle tanımlamanın her zaman arzu edilmediğini belirtmek isterim. Bu anlamda, bazı önlemlerin diğerinden daha iyi olduğu konusunda hemfikir olmakta zorlanıyorum .

Örneğin, belirttiğiniz gibi, minimum tepe kapağı bir polinom zamanı 2-yaklaşım algoritmasını kabul ederken, herhangi bir sabit orana maksimum bağımsız setin yaklaşık olarak ayarlanması NP-zordur. Her ne kadar ilk bakışta şaşırtıcı olabileceğini anlasam da, meşru bir anlamı var: (1) asgari tepe örtüsü küçük olduğunda iyi tahmin edilebilir, ancak (2) büyük olduğunda iyi tahmin edilemez. Herhangi bir pozitif sabit diferansiyel yaklaşma oranına sahip minimum tepe örtüsünün (ve maksimum bağımsız kümenin) yaklaşık olarak NP zor olduğunu belirttiğimizde, özelliği (1) etkili bir şekilde göz ardı ediyoruz. Bazı amaçlar için mülkiyeti (1) görmezden gelmek muhtemelen yeterince iyidir, ancak kesinlikle her zaman böyle değildir.

Yaklaşım algoritmalarının performansını tanımlamak için her zaman yaklaştırma oranını kullanmadığımızı unutmayın. Örneğin, PCP teoremine dayanarak tam genellikte bir uyumsuzluk sonucu belirtmek için, boşluk problemlerine dayanan formülasyona ihtiyacımız vardır. Ayrıntılar için başka bir soruya verdiğim cevaba bakınız. Bu durumda, ne standart yakınlaştırma oranını kullanmak ne de diferansiyel yakınlaştırma oranını kullanmak sonucu tam genel olarak belirtmemize izin vermez.

— Tsuyoshi Ito
kaynak

0

$0$

2

$2$

O P T ⩾ n / 2

$OPT\geqslant n/2$

@Oleksandr: “Vertex Cover durumunda yaklaşım OPT⩾n / 2 olduğunda en kötü çözümle çakışıyor olsa da oran 2'ye sahibiz.” Bunu bir dezavantaj olarak kabul edip etmemeniz bir bakış açısıdır. Her çözümün 2 faktör içinde objektif değere sahip olması durumunda, bir algoritmanın hangi çözümü ürettiği önemli değildir. Standart yaklaşıklık oranı durumu bu şekilde modeller.

— Tsuyoshi Ito

Bu faktör 2 veya başka bir küçük faktör en kötü çözümse, bu sonuç çok az kullanılır.

— Oleksandr Bondarenko

@Oleksandr: Dediğim gibi, bu bir bakış açısı.

— Tsuyoshi Ito

Tsuyoshi'nin belirttiği gibi, mesele, elde edilen sınırı ne tür bir argüman kullanmak istediğiniz için olabilir. Aşağıda iki farklı motivasyon geliştirmeye çalışacağım.

biçiminin standart oranları , algoritmanın sağladığı herhangi bir sonucun kalitesi konusunda size kesin garantiler verir. Yani, sonucu güvenle kullanabilirsiniz. Sonucun gerçekten ne kadar iyi (nispeten!) Olduğunu bilmiyorsunuz, yani sahip olduğu tüm çözümler arasında ne sıralaması olduğunu bilmiyorsunuz. Bu nedenle, hangi algoritmanın daha iyi çözümler verdiğini (veya hangi sorunun daha iyi tahmin edilebileceğini) söyleyemezsiniz. $\alpha = \frac{A}{OPT}$

formunun fark oranları , sonucun kalitesi için göreceli bir garanti verir . Bu algoritma için bir kalite ölçüsü olarak yorumlanabilir (verilen problem üzerinde ). Her örnekte, en iyi çözümlerden * birini almanız garanti edilir , ancak çözüm isteğe bağlı olarak kötü olabilir. Bu nedenle, hangi algoritmanın daha iyi çözümler aldığını (veya hangi sorunun daha iyi tahmin edildiğini) iddia edebilirsiniz, ancak paranızı sonuçlara yatırmamanız daha iyi olur. $\alpha = \frac{\Omega - A}{\Omega - OPT}$ $\alpha\cdot 100\%$

Bu nedenle, türetilen sınırın ne tür bir ifadeye dayanacağına bağlı olarak, uygun alternatifi seçmelisiniz.

(*) Tartışma uğruna, tüm uygulanabilir çözümlerin maliyetlerinin içinde eşit olarak dağıtıldığını varsayın . Bununla birlikte, beklenen nitelikleri, yüzdelikleri veya güven aralıklarını elde etmek için maliyet dağılımı ile birlikte farklı sınırları incelemek ilginç olurdu. $[\Omega, OPT]$

— Raphael
kaynak