İntegralite boşluğu ve yaklaşıklık oranı

Bir minimizasyon problemi için bir yaklaştırma algoritması göz önüne aldığımızda, bu problem için bir IP formülasyonunun bütünlük boşluğu, belirli algoritma sınıfı (yuvarlama veya primal-dual algoritma gibi) için bir yaklaştırma oranının alt sınırını verir. Aslında, en iyi yaklaşım oranı integralite boşluğuna uyan birçok problem vardır.

Bazı algoritma, bazı problemler için integralite boşluğundan daha iyi bir yaklaşım oranına sahip olabilir, ancak böyle bir örneğin var olup olmadığını bilmiyorum. Cevabınız evet ise, bazı örnekler verebilir misiniz?

Bazı problemlerin birden fazla matematiksel formülasyonu kabul ettiğini biliyorum. Bu gibi durumlarda, polinom zamanında çözülebildiği sürece, en küçük integral boşluklu matematiksel formülasyonu düşünün (belki de bazı formülasyonlar ayırma oraklesini kullanabilir).

Bu soru [soru: Bütünlük Boşluğunun önemi] ile ilgilidir .

— Snowie
kaynak

Geometrik TSP'nin böyle bir soruna örnek olacağını tahmin ediyorum, ama referansım yok.

— Jukka Suomela

Vites değiştirme stratejisini kullanarak PTAS'ı kabul eden problemler ne olacak? Bunlardan herhangi birinin keyfi olarak küçük bir entegrasyon boşluğuna sahip bir IP formülasyonu var mı?

— Jukka Suomela

@Jukka geometrik TSP iyi bir örnektir. 4/3 integralite boşluğu örneği, düzlemsel bir grafikte en kısa yol metriğidir ve düzlemde

ile Öklid TSP veya

TSP örneğine dönüştürmek mümkün olmalıdır

ℓ_{1}

$\ell_1$

1 + ϵ

$1+\epsilon$ boşluk

— Luca Trevisan

Düzlemsel grafiklerdeki problemler için PTAS'ların sabit sayıda Sherali-Adams veya Lasserre gevşemesi kullanılarak gerçekleştirilip gerçekleştirilemeyeceğini ilginç bir açık soru olarak duyduğumu duydum. (Sabitin, kişinin ulaşmak istediği yaklaşık rasyona bağlı olduğu yerlerde.) Yoğun grafiklerde PTAS'ları (örneğin, maksimum kesim) olan grafik problemlerinin de bir polinom ailesi olduğu bilinmeli veya en azından kanıtlanabilir olmalıdır. keyfi olarak küçük bütünlük boşlukları ile boyut gevşeme.

— Luca Trevisan

İlgili soru: Herhangi bir polinom boyutlu LP'nin mevcut en iyi bilinen yaklaştırma oranını veremediği kanıtlanmış bir sorun var mı? Bazı kısıtlı LP türleri için bile böyle bir şeyi kanıtlamak mümkün müdür?

— Danu

Yanıtlar:

Belirtildiği gibi, birkaç örnek var.

Klasik bir örnek, "doğal" gevşemenin (tek sınırlamalar olmadan) 2 boşluğa sahip olduğu maksimum eşleşmedir, elbette verimli bir algoritma vardır. Elipsoid ile çözülebilen üssel boyutlu bir LP olduğu için bu tam olarak nitelendirilmez.

İlginç bir tesis tesis konumu. Burada doğal gevşeme sınırsız bütünlük boşluğuna sahiptir. Yine de yerel arama tabanlı algoritmalar sabit faktör yaklaşımları vermektedir.

Bir başka ilginç olan da (bu bir maksimizasyon sorunu olsa da) şu makaledir: http://www.cis.upenn.edu/~sanjeev/postscript/FOCS09_MaxMin.pdf . Burada LP'nin büyük bir boşluğu vardır ve yine de LP'nin daha iyi yapabileceğini kullanan bir algoritma vardır.

— Kunal
kaynak

Çok teşekkür ederim. Bu cevap aradığım şeyleri, özellikle Chakrabarty ve ark. (bu yazı beni çok ilgilendiriyor). Bu yüzden bu cevabı kabul edilmiş olarak ayarladım. Yine de daha fazla örnek arıyorum ve bu nedenle başka örnekler verebilecek herkes çok takdir edilecektir.

— Snowie

Bir yarım kenar programlama gevşemesinin, doğrusal programlama gevşeme için bilinen bütünlük boşluklarından daha üstün bir yaklaşıma izin verdiği çeşitli örnekler vardır.

Örneğin, maksimum kesimin standart doğrusal programlama gevşemesi 1/2 oranında bir bütünlük boşluğuna sahiptir ve bu çok daha karmaşık doğrusal programlama gevşemeleri için bile geçerlidir (cf de la Vega-Kenyon ve Schoenebeck-Trevisan-Tulsiani), ancak Goemans -Williamson SDP algoritması yaklaşık .878 ...

$\Omega(\log n)$ $O(\sqrt{\log n})$

Belki de daha az bilinen Karloff ve Zwick, SDP'yi kullanarak, cümlelerin 7/8 içinde 1, 2 veya 3 değişmezine sahip olabileceği sürümde Max 3SAT'a yaklaşabileceğini gösterirken, Goemans ve Williamson, 3/4 yaklaşımını kanıtlamak için kullanılır (Yannakakis daha önce diğer yöntemlerle 3/4 yaklaşım vermiştir) ve Max 3SAT'ın Goemans-Williamson LP gevşemesinin kolayca bütünlük boşluğuna sahip olduğu görülür 3/4.

— Luca Trevisan
kaynak

Grant, GF_2 üzerinden doğrusal sistemlerin çözülmesinin bir sonucudur. İyi bir çözüme sahip denklem sistemleri için, SDP entegralite boşluğunuz (çok güçlü bir şekilde) 2 olurken, problemi tam olarak çözmek için Gauss Eliminasyonunu kullanabilirsiniz.

— YI WU
kaynak