VC Boyutunu Tahmin Etme

Aşağıdaki sorun hakkında bilinenler nelerdir?

fonksiyonlarından oluşan bir koleksiyonu verildiğinde bazı tamsayı için VC-Boyut kısıtlamasına tabi olarak en büyük alt toplama bulun . $C$ $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $S \subseteq C$ $(S) \leq k$ $k$

Bu sorun için yaklaşık algoritmalar veya sertlik sonuçları var mı?

— Aaron Roth
kaynak

İşlevleri en üst düzeye çıkarmada hiçbir rol oynamıyor gibi görünüyor | S |

— Suresh Venkat

Fonksiyonların seçimi S'nin VC-Boyutunu belirler. Sorun, bir VC-boyut kısıtlamasına tabi olarak mümkün olduğunca büyük bir fonksiyon sınıfı bulmaktır.

— Aaron Roth

Anlıyorum. "Geometri arazisi" ne çevrilirse, size bir aralık koleksiyonu verilir (f karakteristik bir işlev olarak işlev görür) ve sınırlı VC boyutunun en büyük alt toplanmasını istersiniz.

— Suresh Venkat

Soruyu cevaplamanın diğer sorunu: C nasıl sunulur? Bu olası azami boyutu biliyoruz

olduğu

Sauer Önsavı ile, ve hatta bir işlev yazılması

gerektirir

bit.

S

$S$

O (2^{n k})

$O(2^{nk})$

C

$C$

n

$n$

— Suresh Venkat

Sağ. Herhangi bir temsili rejimdeki sonuçlarla ilgileniyorum. Sen görüntü verebilecek

bir olarak sunulur

matris, bu durumda çalışma süresi

`` verimli '' olurdu (zaman

olmasa da, tüm

nokta koleksiyonlarının paramparça olup olmadığını kapsamlı bir şekilde kontrol etmek için gereken şey budur ).

işlevlere yalnızca kara kutu sorgu erişimi ile herhangi bir algoritmik sonuç mümkünse , bu daha da iyi olurdu.

C

$C$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n \times k}

$2^{n\times k}$

k

$k$

C

$C$

— Aaron Roth

Yanıtlar:

Düzenleme : Orijinal sorundur zaman -Zor yaklaşmak için setleri sayısını gösterir. $n^{1-\epsilon}$ $k=1$ $n$

Çift bir hypergraph kenarlarıyla köşe alışverişi ve insidansını koruyarak elde edilir. Hepimizin (a hypergraph çift çapraz serbesttir onun iff VC-boyutu 1 sahip olduğuna dikkat zaman sorunu anlamak kolaydır içinde , en birinde boş). $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

Dualite ile orijinal problem ( ), bir hipergraf verildiğinde , maksimum boyutta bir bulun . $k=1$ $(V, \mathcal{S})$ $U \subseteq V$ $(U, \{S \cap U \mid S \in \mathcal{S}\})$

Aslında, bu (ikili) sorun, tüm setleri bile çok zordur boyutu 2 vardır: o zaman bir grafiktir ve yok olan kaynaklı alt grafiğinin maksimum boyutlu tepe boyutu Aradığınız olmayan (her iki kenar yolunu içerir grafiğin en az 4 köşesi olduğu varsayılarak, bir geçiş çiftinin ortaya çıkmasının tek yolu olduğunu görmek zor değildir). Ancak bu özellik kalıtsal ve önemsizdir ve bu nedenle sertlik göstermek için Feige ve Kogan'ın bir sonucunu kullanabiliriz . $\mathcal{S}$

Orijinal cevap

$k=1$ $S$ $S$ $n^{1-\epsilon}$ $\Theta(n)$

$A$ $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

$G=(V, E)$ $H=(X, S)$ $X = V \uplus E \uplus \{0\}$ $0$ $v$ $G$ $T_v$ $S$

{v} \cup {e ∣ e is an edge incident to v} .

$\{v\} \cup \{e \mid e \textrm{ is an edge incident to }v\}.$

$\{T_v\}_{v \in U}$ $U$ $G$

Ama orijinal (ilkel) problem için, biraz daha düşünmek gerekiyor gibi görünüyor ... ilginç görünüyor!

— daveagp
kaynak

İlgili bazı ilgili çalışmalar: Temsilinizde VC boyutunun kendisini (sınırlı VC boyutuyla büyük bir alt toplama bulmak) tahmin etmek LOGNP- tamamlıdır (LOGNP, belirsizlikçiliğin oturum açma bitleriyle NP ile sınırlıdır). Ayrıca , aralık alanının sunumu daha kompakt olduğunda VC boyutunu tahmin etme ve yaklaşık tahmin etme konusunda biraz ilgili çalışma vardır (ayrıca içindeki referanslara bakın)

— Suresh Venkat
kaynak