Devre boyutu için hiyerarşi teoremi

Devre karmaşıklığı için bir boyut hiyerarşi teoreminin bölgede önemli bir atılım olabileceğini düşünüyorum.

Sınıf ayrımına ilginç bir yaklaşım mı?

Soru için motivasyon:

ebadı devreleri ile hesaplanamayan ve f ( n ) < o ( g ( n ) ) olduğu bir g ( n ) ebadı devresi ile hesaplanabilecek bazı fonksiyonlar vardır . (ve muhtemelen derinlikle ilgili bir şey)$f(n)$$g(n)$$f(n)<o(g(n))$

yani, ise, özellik doğal görünmemektedir (büyüklük durumunu ihlal eder). Açıkçası köşegenleştirmeyi kullanamayız, çünkü tek tip bir ortamda değiliz.$f(m)g(n) \leq n^{O(1)}$

Bu yönde bir sonuç var mı?

Aslında, yeterince küçük olan her için ( 2 n / n'den az ), f ( n ) büyüklüğündeki devrelerle hesaplanabilen ancak f ( n ) - O ( 1 ) büyüklüğündeki devrelerle hesaplanmayan fonksiyonlar olduğunu göstermek mümkündür. , hatta $f$$2^n/n$$f(n)$$f(n)-O(1)$izin verdiğiniz kapı tipine bağlı olarak ( n ) - 1 .$f(n)-1$

İşte boyutunda hesaplanabilir ancak f ( n ) - O ( n ) boyutlarında hesaplanamayan fonksiyonlar olduğunu gösteren basit bir argüman .$f(n)$$f(n)-O(n)$

Biz biliyoruz ki:

1. en az 2 n / O ( n ) devre karmaşıklığı ve özellikle f ( n ) ' den daha fazla devre karmaşıklığı gerektiren bir fonksiyonu vardır .$g$$2^n/O(n)$$f(n)$
2. işlev böyle z ( x ) = 0 , her giriş için x sabit boyutlu devresi tarafından hesaplanabilir olup.$z$$z(x)=0$$x$
3. iki fonksiyon ve g 2 sadece bir girişte farklıysa, devre karmaşıklıkları en fazla O ile farklılık gösterir$g_1$$g_2$$O(n)$

N girişlerinde sıfır olmadığını varsayalım . Bu girişleri x 1 , … , x N olarak adlandırın . Her i için { x 1 , … , x i } kümesinin gösterge fonksiyonu olan g i ( x ) fonksiyonunu düşünebiliriz ; dolayısıyla g 0 = 0 ve g N = g'dir .$g$$N$$x_1,\ldots,x_N$$i$$g_i(x)$$\{ x_1,\ldots,x_i \}$$g_0=0$$g_N=g$

Açıkça bazı vardır öyle ki g i + 1 devresi karmaşıklığı fazla f ( n ) ve g ı az devre karmaşıklığı f ( n ) . Fakat daha sonra g i , f ( n ) ' den daha az fakat f ( n ) - O ( n ) ' den daha fazla devre karmaşıklığına sahiptir .$i$$g_{i+1}$$f(n)$$g_i$$f(n)$$g_{i}$$f(n)$$f(n) - O(n)$

$k$$(1+o(1))(2^k/k)$$k$$2g(n) < 2^k/k < f(n)/2$$g(n)$$f(n)$$k$$2^n/n$

$NE$