Kişi P = NP'yi P = PH ötesine yükseltebilir mi?

Gelen Açıklayıcı Karmaşıklık , Immerman vardır

Corollary 7.23. Aşağıdaki koşullar eşdeğerdir:
1. P = NP.
2. Sonlu olarak, sıralı yapılar üzerine, FO (LFP) = SO.

Bu, (muhtemelen) daha büyük karmaşıklık sınıfları üzerinde eşdeğer bir ifadeye P = NP'yi “yükseltmek” olarak düşünülebilir. SO polinom-zaman hiyerarşisi PH'yı yakaladığını ve FO'nun (LFP) P'yi yakaladığını, bu nedenle P = NP iff P = PH olarak düşünülebilir.

(Bunun ilginç kısmı, P = NP'nin P = PH'yi ifade ettiği ifadesidir; P = CC'nin NP içeren herhangi bir CC sınıfı için P = NP'yi ifade etmesi önemsizdir. Immerman "eğer P = NP sonra PH = NP" dır. Muhtemelen P = NP, PH'nin oracle tanımıyla birlikte tüm hiyerarşinin çöktüğünü indüktif olarak göstermek için kullanılabilir.

Sorum şu:

Bu şekilde P = NP daha ne kadar büyütülebilir?

Özellikle, P = NP P = CC 'anlamına gelen en küçük CC sınıfı ve P = NP CC = NP anlamına gelen en küçük CC sınıfı nedir? Bu P = NP'nin CC = CC 'eşdeğer sorusu ile değiştirilmesine izin verir. P, NP'den ayırmaya çalışan argümanlar için küçük "kıpırdatma odası" sağladığı için oldukça güçlü bir sınıf gibi görünüyor: kıpırdatma odası ne kadar büyütülebilir?

Elbette P = PH'nın bu yaklaşımın sınırı olduğunu gösteren bir argümanla da ilgileneceğim.

Düzenleme: yakından ilgili soruyu not edin Neden P = NP P = AP (yani P = PSPACE) anlamına gelmiyor? diğer yöne odaklanır, neden P = PSPACE olduğuna dair kanıtımız yoktur. Kaveh ve Peter Shor tarafından verilen cevaplar, değişmekte olan değişikliklerin sayısının anahtar olduğunu savunuyor. İlgili bir başka soru ise , PH'da bulunmadığı bilinen, ancak aday bir sorun isteyen P = NP ise P'de olacak bir karar problemidir; Buradaki cevaplar bu soruya cevaplar oluşturmak için de kullanılabilir, ancak bu sınıflar biraz yapaydır (bunu işaret ettiği için Tsuyoshi Ito'ya teşekkürler). Daha genel bir ortamda, zaman aşımının çökmesi ve dönüşümlü sınırlamalı turing makinesi Alternatif hiyerarşideki herhangi bir düzeyde bir yerel çöküşün, polinom-zaman hiyerarşisinde olduğu gibi yukarı doğru bir çöküşe yol açıp açmadığını sorar.

Russell Impagliazzo'nun yorumundan :

Hangi dilleri de de biçimlendirmenin bir yolu olarak , Regan, karmaşıklık sınıfını sınıfına . Bir dil olan , ancak ve ancak, eğer olan her torpil göre , böylece . Bu nedenle, içinde ifadesi ise göreceleştirdiği. P = N P H L H L P O O P O = N P O L H P = N $\mathsf{P}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{H}$$L$$\mathsf{H}$$L$$\mathsf{P}^O$$O$$\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$$L$$\mathsf{H}$P H ⊆ H ⊆ bir L T , T i m e ( O ( lg lg , n ) , p O l y ) H ⊆ P m O d q P q p O = N P O , H , H = p $\mathsf{P}=\mathsf{NP} \implies L\in\mathsf{P}$$\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{H} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\lg\lg n),\mathsf{poly})$. teoreminden ve teoremindeki bazı , her için olduğu da doğrudur . Temel olarak, sağlayan herhangi bir oracle , da yeni bir üst sınır verir . olup olmadığı açıktır .$\mathsf{H} \subseteq \mathsf{P}^{\mathsf{mod}_q \mathsf{P}}$$q$$\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$$\mathsf{H}$$\mathsf{H}=\mathsf{PH}$

Ve Lance Fortnow'un yorumundan :

Let herhangi bir sınırsız fonksiyonu. içinde yer almayan ve kanıtlamak eğer eder sonra , den farklıdır .H bir L T , T i m e ( f ( n ) , p O l y ) P = N P P = bir l T T ı m e ( f ( n ) , p O l y ) N P $f(n)$$\mathsf{H}$$\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$$\mathsf{NP}$$\mathsf{L}$

Tanımı için tanım 6.3$\mathsf{H}$

• Kenneth W. Regan, " Dizin kümeleri ve karmaşıklık sınıflarının sunumları ", 1999

Diğer soruya verdiğim cevapta yazdığım gibi , argümanı yapıcı ve tekdüze olarak değiştirerek, SAT için bir polinom-zaman algoritmasına sahip olduğumuzu ve ne elde edeceğimizi göreceğimizi çözen bir algoritma vererek alternatiflerin sayısını değiştirip sabit değil.$\Sigma^P_k$$k$

Let iki giriş ile bir DTM olmak ve . Bunu bir problemi için doğrulayıcı olarak düşünün .$M$$x$$y$$\mathsf{NP}$

Let , bir TM dönüştüren bir algoritma boyutu bir devresine hesaplar boyutu girdilerine adımları için .$Cook(M, \vec{n}, t)$$M$$s(\vec{n},t) \in \mathsf{poly}$$M$$\vec{n}$$t$

Varsayalım ve deterministik algoritma var olan zaman içinde devre-SAT belgesi uzatma sorunu çözer . bir p ∈ p O l $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$A$$p\in\mathsf{poly}$

Bu bileşenlerle, ölçülen bir Boolean formülü verilen TQBF için bir algoritma tanımlarız, en içteki niceleyiciyi yinelemeli olarak kaldırır ve değiştiriciyi niceliksiz olanla değiştirir. Let de formül boyutu adımında inci, o zaman var . Formül ı s ı + 1 = s ∘ s ( s ı ) $s_i$$i$$s_{i+1} = s\circ p(s_i)$$k$$q(n) = (s \circ p)^k(n)$$n$

$k$$q(n) \in \mathsf{poly}$$\mathsf{P}$

$k \in \omega(1)$$q(n)$$n^{2^{O(k)}}$$k = \lg \lg n$$k = \lg n$

$C$

$C$$\mathsf{H}$$\mathsf{H}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

$\mathsf{BPP} = \mathsf{PP}$$\mathsf{IP} = \mathsf{PSpace}$

Ayrıca, bir çok yanlış anlamaya neden olan bir karmaşıklık sınıfını sorunsallaştırmanın sadece tek bir doğru yolunun olduğu fikrini buluyorum (örneğin, genişleme sınıflarında işlevsel bir işlem olarak görecelemeyi düşünme gibi), görecelilik bir hesaplama modelinin bir modifikasyonudur. , bir işlev sınıfı veya dil değil). Göreceli ilişkileri değiştirilmiş (etkileşimli) hesaplama çerçeveleri olarak görmek bence daha yararlıdır. Bu şekilde bir karmaşıklık sınıfını görmenin birçok yararı vardır (kasıtlı anlamda). Relativize edilmemiş ortam ile ilgili göreceli bir çerçeveden bilgi edinmek için standart dışı analizde transfer prensibine benzer bir tür transfer prensibine ihtiyacımız vardır.. Sınıflar arasında bilinen ilişkileri koruyan sınıflar için belirli bir görelilik yönteminin seçilmesinin bize bir aktarma ilkesi vermediğine dikkat edin (bu, genellikle bir sınıfın "doğru" olup olmadığına karar vermek için literatürde kullanılan ana kriterlerdir).