Yağ şeylerin kesişimi ile düzlemsel grafik?


14

Herhangi bir düzlemsel grafiğin disklerin öpüşme grafiği olarak çizilebileceğini belirten güzel bir Koebe teorisi ( buraya bakın ) (çok romantik ...). (Başka bir deyişle, herhangi bir düzlemsel grafik, disklerin kesişim grafiği olarak çizilebilir.)

Koebe teoreminin kanıtlanması çok kolay değildir. Benim sorum: Bu teoremin daha kolay bir versiyonu var mı, diskler yerine herhangi bir yağ dışbükey şekli kullanmasına izin verildi (dışbükeylik müzakerelere açık olabilir, ancak şişmanlık değil). Her tepe noktasının farklı bir şekil olabileceğini unutmayın.

Teşekkürler...

Açıklama: bir şekil için , izin R ( X ) en küçük parça topa yarıçapı X ve izin R ( x ) me en büyük kapalı topun çapındaki izin S . Şekil S olan α -FAT eğer R ( x ) / R ( x ) α . (Bu şişmanlık, BTW'nin tek tanımı değildir.)XR(X)Xr(X)SSαR(x)/r(x)α


biraz bilgiçlik: Koebe'nin teoremi, kesişim grafiklerinden biraz farklı olan temas grafikleri ile ilgilidir. Hangi sürümü tercih edersiniz?
Suresh Venkat

Bu nedenle, her düzlemsel grafiğin düzlemdeki segmentlerin kesişim grafiği olması nedeniyle şişmanlık gerektiğini varsayıyorum (Chalopin & Gonçalves, STOC 09). Şişman değillerse, öpüşmek kavşakla aynıdır. (Hm, son cümle bağlamdan çıkarıldı!)
RJK

Şişmanlık, hayatı grafikle başka şeyler yapmak kadar kolaylaştırır (örneğin, bir ayırıcı bulmak).
Sariel Har-Peled

3
"Koebe teoremini simüle düşük karmaşıklık yağ şekil aileleri bulmak" yerine "Koebe teoreminin basit bir kanıtı vermek": Burada asıl soru olup olmadığını merak
Suresh Venkat

2
Elbette. Bu geçerli bir yorum. Ancak, Koebe teoreminin basit bir kanıtını almayı düşünüyorum, bir şekilde onu rahatlatmak gerekiyor ...
Sariel Har-Peled

Yanıtlar:


10

Şişman nesnelerin iki boyutlu olması gerektiğini söylemedin, değil mi? Felsner ve Francis, 3B eksen eksenli küplerle her zaman mümkün olduğunu kanıtlıyor . Ancak, kanıt Schramm'ın Koebe-Thurston-Andreev'in genellemelerini içeriyor, bu yüzden daha basit bir sonuç değil. Ayrıca, dört bağlantılı maksimal düzlemsel grafikler için paralel taraflı eşkenar üçgenler kullanmanın mümkün olduğunu belirtiyorlar.


Bu da güzel bir soru, sanırım. Her düzlemsel grafiğin kürelerin temas grafiği olarak gösterilebileceğine dair hızlı bir kanıt var mı?
RJK




4

Bir var arXiv yeni kağıt temas grafiği temsillerine Duncan, Gansner, Hu, Kaufman ve Kobourov tarafından. 6 taraflı çokgenlerin gerekli ve yeterli olduğunu gösterirler. Altıgenler dışbükey olabilir, ancak ilk okumada da şişman olup olmadıkları bana açık değildi.


Yo yo. Kendimde ... Onlar de FRAISSEIX etal sonuç yukarıda belirtilen kullanırken bu kağıt ve Kant tarafından bir sonucu ... keşfetti
Sarıel Har-Peled

Burada "temas" farklı tanımlanmıştır. Nokta teması, okumalarımdan izin verilmedi.
RJK

Bunun çokgen temsiller için makul olduğunu hayal ediyorum (çünkü herhangi bir tepe noktası olmayan temas mutlaka mantıksız olacaktır)?
Suresh Venkat

Burada yalnızca üç izin verilebilir yuva olduğundan, dokunma birbirine paralel kenarlar üzerinden olmalıdır ...
Sariel Har-Peled

0

Gerd Wegner yaptığı doktora tezi (Georg-August-Universität, Göttingen, 1967) herhangi bir grafik üç boyutlu dışbükey Politopunun bir dizi temas grafiği olduğunu kanıtladı (ama o Grünbaum için sonucunun ilk yayınlanmamış kanıt kredileri). Bu kısa bir kanıt.


Bunun, örneğin moment eğrisine noktalar koyarak ve Voronoi diyagramlarını hesaplayarak bunun kolay doğrudan kanıtları vardır. Burada şişmanlık durumu perişan bir şekilde başarısız oluyor ...
Sariel Har-Peled

"Yağ" ı tamamen yanlış anladım. Ben "şişman üçgen" googled kadar tanımı bilmiyordum itiraf için utanıyorum (ama şimdi açık olması gerekir). Bu konsept için bir referans / tanım verebilir misiniz?
RJK

Ayrıca bahsettiğim temsil, herhangi bir grafiği bu şekilde temsil etmek için kullanılabilir - sadece düzlemsel grafikler değil.
Sariel Har-Peled

Sorudaki "yağ" ın açıklaması için teşekkürler. Bu yazıda da düzlemselden bahsetmediğimi belirtmek gerekir. Belirli bir şişmanlık değeri için, her grafik, bazı (yeterince yüksek) boyutlardaki yağ dışbükey politoplar ile temsil edilebilir. Açık olan soru, boyut sınırının tüm grafikler üzerinde aynı olup olamayacağıdır. Bu çalışıldı mı?
RJK

Değil olarak bildiğim kadarıyla, ama ben ... böyle şeyler hakkında çok bilgili değilim
Sarıel Har-Peled
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.