Gevşeklik ile boyut azalması?

11

Johnson-Lindenstrauss lemması bir toplama için kabaca söyler arasında noktaları , harita vardır burada bu şekilde tüm : $S$ $n$ $\mathbb{R}^d$ $f:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^k$ $k = O(\log n/\epsilon^2)$ $x, y \in S$ benzer ifadeler için mümkün olmadığı bilinmektedir metrik ama garantileri zayıf sunarak etrafında böyle alt sınır almanın bir yolu var olup olmadığını Bilindiği? Örneğin, yukarıda lemma bir versiyonu olabilir

(1 - ϵ) | | f (x) - f (y) | |_{2} \leq | | x - y | |_{2} \leq (1 + ϵ) | | f (x) - f (y) | |_{2}

$(1-\epsilon)||f(x)-f(y)||_2 \leq ||x-y||_2 \leq (1+\epsilon)||f(x)-f(y)||_2$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ℓ_{1}

$\ell_1$ metrik yalnızca çoğu noktanın mesafesini koruma sözü verir, ancak bazılarını keyfi olarak bozabilir mi? "Çok yakın" noktalar için çarpma garantisi vermeyen bir ürün mü?

— Aaron Roth
kaynak

9

Böyle olumlu bir sonuç için standart referans, Piotr Indyk'in kararlı dağılımlar hakkındaki makalesidir:

http://people.csail.mit.edu/indyk/st-fin.ps

O bir boyut küçültme tekniği gösterir Nokta çiftleri arasındaki mesafe artmaz (faktöründen fazla ) (faktör daha azaltılmamak sabit olasılık ve mesafeleri ) yüksek bir olasılıkla. Katıştırma boyutu üstel olacak . $\ell_1$ $1+\epsilon$ $1-\epsilon$ $1/\epsilon$

Muhtemelen farkında olmadığım takip çalışmaları var.

— Moritz
kaynak

8

("incelikle bozulan bozulma" koşullarında) ve genel sonuçları olan Rahat Garantili Metrik Gömmeler belgesine bakın . $\ell_1$ $\ell_p$

Ayrıca bakmak Boyut Azaltma Pratik Prosedürler içinde kağıt. $\ell_1$

— spinxl39
kaynak

7

$\ell_1$ $O(n/\epsilon)$ $O(1/(\delta\epsilon))$ $1-\delta$

— Yair
kaynak

4

$\ell_1$ $S$ $c$ $\mathbb{R}^d$ $k$ $c$ $c$ $V$ $\ell_1^d$ $L_1$ $f:\ell_1^d \rightarrow \ell_1^k$ $k = O(\epsilon^{-2}c\log c)$ $x, y \in V$ $(1-\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1 \leq \|x - y\|_1 \leq (1+\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1$ . Gömme basit bir randomize prosedürdür, ancak adımlarla ilerler ve her adım sabit olasılıkla başarılı olur; her adımdan sonra adımın gerçekten başarılı olup olmadığını kontrol etmeniz ve eğer tekrarlamamış olmanız gerekir. Dolayısıyla Talagrand'ın gömülmesi JLT'nin önemli bir özelliğinden yoksundur: bağımsız bir dağıtımdan seçilebilmesi . $f$ $S$

Çok yakın zamanda, Woodruff ve Sohler Talagrand en bir sonuç benzer kanıtladık ama katma özelliği bununla sadece JLT olduğu gibi, bir dağıtım bağımsız toplanan doğrusal bir eşleme olan : Bir seçmek gerekir matrisi nerede her giriş bir iid Cauchy rastgele değişkendir. Bu Indyk'in istikrarlı projeksiyonlarının ruhudur: Cauchy 1 kararlıdır. $f$ $S$ $k \times d$

— Sasho Nikolov
kaynak