TCS’deki Gröbner üsleri?

Gröbner üslerinin teorik bilgisayar bilimine ilginç uygulamalarını bilen var mı ?

Gröbner bazları, çok değişkenli polinom denklemlerini çözmek için kullanılır, genelde NP-zor bir problemdir. Bazı izlenebilir özel durumların TCS veya TCS ile ilgili alanlarda (kombinasyon, kodlama teorisi) etkin algoritmalar / yapılar / provalar sağlamak için kullanıldığını merak ediyordum.

Gröbner temelli hesaplama, EXPSPACE genel olarak tamamlanırken, Boolean halkaları üzerinden PSPACE'tedir. Bu, BDD'lerin yerini almak için model kontrolü uygulamalarına sahiptir: Quoc-Nam Tran, "Boolean Ringlerde Groebner Baz Hesaplamaları için Bir PSPACE Algoritması", Proc. WASET, Vol. 35, Kasım 2008, ISSN 2070-3740

[NOT] Groebner bazında hesaplamanın Boolean halkaları üzerinde PSPACE'de olduğunu gösteren sonuç yanlış görünüyor, bakınız Mark van Hoeij, Boolean halkalarında Gröbner temeli P-SPACE değil , arXiv: 1502.07220 , 2015.

[NOT] Groebner bazında hesaplamanın Boolean halkaları üzerinde PSPACE'te olduğunu gösteren sonucun yanlış göründüğü iddiası yanlış. Yazar PSPACE-hesaplanabilirliğini bir polinom boyutuna sahip ile karıştırır. Bir PSPACE işlevi, üssel olarak uzun çıkışa sahip olabilir.

Gröbner üslerinin kodlama ve kriptografide uygulamalarında ilginç bir Springer hacmi var:

• Gröbner Bazları, Kodlama ve Şifreleme , / Sala, M .; Mora, T.; Perret, L .; Sakata, S .; Traverso, C. (Eds.).

Şahsen araştırmamı, hata yer belirleme polinomlarının ideallerini hesaplama algoritmaları üzerine yapıyorum (kodlama teorisinde oldukça iyi bilinen bir kavram, özellikle sendrom çözme). Algeraik geometri hata yerlerinden gelen kodlar durumunda, idealler genellikle çeşitli değişkenlerden polinom idealdir - burası Gröbner Bases'in merkezi bir rol oynadığı yerdir. Yukarıda belirtilen ciltte benim için en ilginç kısım, S. Sakata'nın BMS algoritmasını tanımlaması ve cebirsel geometri kodlarının kodunu çözmek için uygulamalarının bir incelemesidir.

8F çalıştayında yeni duydum

Ağ kodlamanın bir akış ağında uygulanabileceğinin orijinal kanıtı Gröbner tabanlarını kullanır.

Gröbner üsleri kısıtlama memnuniyeti problemlerine uygulandı (bu hibeye bakınız ). Bu noktada Gröbner temelli teknikler, kısıtlı memnuniyetin uygulamaları için kullanışlı görünmemektedir, çünkü olgun arama sezgileri, tutarlılık uygulama teknikleri ve verimli özel amaçlı yayıcılar ile rekabet ediyorlar - iyi genel amaçlı SAT çözücülerinden bahsetmiyorlar. Ancak, özellikle Gröbner temeli makul ölçülerde olduğunda keşfedilmeyi bekleyen teorik kullanımlar kesinlikle olduğunu düşünüyorum. Ayrıca, MACIS 2007'de sunulan Jefferson, Jeavons, Green ve van Dongen'in makalesine de bakınız (dergi versiyonu: AMAI 67 359–382, 2013, doi: 10.1007 / s10472-013-9365-7 ). .

Bir Gröbner temeli kullandım, #CSP problemleri için karmaşık bir ağırlığa sahip tek bir ikili kısıtlama fonksiyonuna sahip ( arXiv versiyonu ) 3-normal grafikler üzerinde yeni bir ikilik teoremine dair kısa bir kanıt bulmaya yardımcı oldum .

Kısıtlama fonksiyonları grubu üzerinde doğal denklik bir ilişki vardır, yani, durumunda tüm olası örnek grafikleri için. 3 normal grafikler için, tüm olası grafikler üzerinde olabileceğinden daha az eşdeğerlik sınıfı vardır. Bir dikotomi teoreminin sadece her bir denklik sınıfında bir sınırlayıcı fonksiyonun karmaşıklığını kanıtlaması gerektiğinden, bu daha kısa bir kanıtı sağlar.# CSP ( f ) = # CSP ( g $f \sim g$$\#\operatorname{CSP}(f) = \#\operatorname{CSP}(g)$

Gröbner temeli, bir ikili fonksiyon tanımlamak için gereken ilk dört değişkenden, her bir denklik sınıfında değişmeyen altı "simetrik hale getirilmiş" değişkene dönüştürmek için kullanılır (yukarıda verilen kağıdın D bölümüne bakın). Bununla birlikte, Gröbner temeli kağıtta belirtilmemiştir, çünkü tek amacı, ilk dört değişkenden altı polimetrede ( Mathematica GroebnerBasis tarafından önceden oluşturulmuş olan) simetrileştirilmiş altı değişkene otomatik dönüşümdü .

Aşağıdaki kağıt bir uygulama olarak görülebilir.

• Gunnar Carlsson, Gurjeet Singh, Afra Zomorodian: Çok Boyutlu Kalıcılık Hesaplama. Hesaplamalı Geometri Dergisi, 1 (1) 2010, sayfa 72-100. http://jocg.org/index.php/jocg/article/view/19

Yazarların Buchberger'in algoritmasını bir alt rutin olarak kullandıklarını ve çalışma sürelerinin polinom olarak sınırlandırıldığını kanıtlamak için problemlerinin yapısından faydalandıklarını görüyorum.

Grant Passmore ve diğerleri onlar hakkında SMT çözücüleri hakkında yazıyorlar. Groebner üslerinde veya SMT çözücülerinde uzman değilim, bu yüzden bu referansın sorunuzu ne kadar iyi yanıtladığını değerlendirmek zor.

Kanıtların karmaşıklığında Gröbner bazlarının kullanımı , CNF'leri çürütmek için Clegg, Edmonds, Impagliazzo tarafından önerildi. Bu kanıt sisteminin katlanarak Çözünürlük'ten daha iyi performans gösterdiği durumlar vardır, ancak bana genel örneklerde gerçek bir performans artışı olduğu görünmüyor.

Çözünürlük için daha düşük sınırların çoğunun Polinom Analiz için de geçerli olduğu (Gröbner bazlarına dayanan bir ispat sistemi) doğrudur. İstisnalar, genellikle temel alanın özelliği için inşa edilmiştir. Bu, de çalışmanın bazı formüllerde size yardımcı olabileceği anlamına gelir, ancak başkalarında değil.$GF(2)$

Oysa Polinom Matematik, Çözünürlük kadar çalışılmamıştır, bu nedenle iyi test edilmiş sezgisel taramalar mevcut değildir.

Ayrıca bkz bu bu cryptanalysyis içinde uygulama için (Ben bu konuda pek bilmiyorum).

Alekseyev ve Pevzner bu yazıda iki genom arasındaki kopma mesafesini lineer zamanda hesaplamak için kullanır. Açıkça konuşursak, bu mesafe, verilen bir genomu parçalara ayırmanız ve bu genomu verilen bir taneye dönüştürmek için onları yeniden düzenlemek için gereken minimum sayı olarak tanımlanır .$k$$k$

Grobner tabanları Reed-Solomon kodları için en hızlı liste kod çözme algoritmaları için kullanılır: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.320.1170&rep=rep1&type=pdf

Gröbner tabanları, bilgisayarlı görüşte çoklu görünüm geometrisindeki önemli sorunları çözmek için başarıyla kullanılmıştır .

Aşağıdaki http://arxiv.org/pdf/1502.05912.pdf bazen Grobner temelini (grafikler denklem sistemleri tarafından kodlanmıştır olduğunda) izomorfizm karar için kullanılır. Fakat bu, CNFS'yi reddetmede grobner bazının kullanılmasına katılıyor.