Sürekli optimizasyon literatürü ve TCS literatürüyle hangi tür (sürekli) matematiksel programların (MP'ler) verimli bir şekilde çözülebildiği ve hangilerinin çözülemeyeceği konusunda kafam karıştı. Sürekli optimizasyon topluluğu tüm dışbükey programların verimli bir şekilde çözülebileceğini iddia ediyor gibi görünüyor, ancak "verimli" tanımlarının TCS tanımına uymadığını düşünüyorum.
Bu soru son birkaç yıldır beni çok rahatsız etti ve buna net bir cevap bulamıyorum. Umarım bunu bir kez ve herkes için çözmeme yardım edersiniz: Hangi milletvekillerinin sınıfları polinom zamanında tam olarak çözülebilir ve bu yolla; ve polinom zamanında tam olarak çözemediğimiz en uygun MP'lerin çözümüne yaklaşma hakkında ne bilinmektedir?
Aşağıda, bazı yerlerde de muhtemelen yanlış olan bu soruya eksik bir cevap veriyorum, bu yüzden yanlış yaptığım noktalarda beni doğrulayabilir ve düzeltebilirsin. Ayrıca cevaplayamadığım bazı soruları da ifade ediyor.
Hepimiz doğrusal programlamanın tam olarak polinom zamanında, elipsoid yöntemiyle veya bir iç nokta yöntemiyle ve ardından bazı yuvarlama prosedürleriyle çözülebileceğini biliyoruz. Doğrusal programlama, zaman zaman polinom içinde, herhangi bir süper büyük lineer kısıtlamaya sahip bir LP ailesi ile karşı karşıya kaldığı zaman, kendisi için bir "ayrılık oracle" sağlayabildiği sürece, değişkenler sayısında çözülebilir: bir nokta verilen bir algoritma ya bu noktanın uygulanabilir olup olmadığını belirler ya da noktayı uygulanabilir noktaların çokyüzlülüğünden ayıran bir hiper düzlem çıkarır. Benzer şekilde, eğer bu LP'lerin çiftleri için bir ayırma algoritması sağlarsa, herhangi bir süper büyük değişkene sahip bir LP ailesi ile karşı karşıya kalırken kısıtlama sayısındaki zaman polinomundaki doğrusal programlama.
Elipsoid yöntemi ayrıca, nesnel işlevdeki matrisin kesin (yarı?) Kesin olması durumunda, ikinci dereceden programları polinom zamanında çözebilir. Ayırma oracle hilesini kullanarak, bazı durumlarda inanılmaz sayıda kısıtlama ile uğraşıyorsak bunu da yapabiliriz diye düşünüyorum. Bu doğru mu?
Son zamanlarda yarı-kesin programlama (SDP), TCS topluluğunda bir çok popülerlik kazanmıştır. Biri iç nokta yöntemleri veya elipsoid yöntemi kullanılarak bunları keyfi kesinliğe kadar çözebilir. Bence, SDP'ler kareköklerin tam olarak hesaplanamaması sorunu nedeniyle tam olarak çözülemiyor. (?) SDP için bir FPTAS olduğunu söylersem doğru olur mu? Bunu hiçbir yerde belirtmedim, bu yüzden muhtemelen doğru değil. Ama neden?
LP'leri tam olarak ve SDP'leri keyfi bir kesinliğe kadar çözebiliriz. Diğer konik program sınıflarına ne dersiniz? İkinci dereceli koni programlarını elipsoid yöntemini kullanarak keyfi kesinliğe kadar çözebilir miyiz? Bilmiyorum.
Elipsoid yöntemini hangi MP sınıflarında kullanabiliriz? Böyle bir milletvekilinin hangi özelliklerin bir cevabın keyfi bir kesinliğe verilebileceğini sağlaması gerekiyor ve polinom zamanında kesin bir çözüm elde edebilmek için hangi ek özelliklere ihtiyacımız var? İç nokta yöntemleri için aynı sorular.
Son olarak, sürekli optimizerlerin dışbükey programların verimli bir şekilde çözülebileceğini söylemelerine neden olan şey nedir? Dışbükey bir programa isteğe bağlı hassas bir yanıtın polinom sürede bulunabileceği doğru mu? İnanıyorum ki, "verimli" tanımları hangi yönlerden bizden farklıdır?
Herhangi bir katkı takdir edilmektedir! Şimdiden teşekkürler.