Mulmuley'nin GCT programı

Bazen Ketan Mulmuley'in Geometrik Karmaşıklık Teorisinin, P-NP sorusu gibi karmaşıklık teorisinin açık sorularını çözmenin tek mantıklı programı olduğu iddia edilir. Ünlü karmaşıklık teorisyenlerinin programla ilgili birçok olumlu yorumu var. Mulmuley'e göre, istenen sonuçları elde etmek uzun zaman alacak. Alana girmek, genel karmaşıklık teorisyenleri için kolay değildir ve cebirsel geometri ve temsil teorisi üzerinde durmak için önemli çabalar gerektirir.

1. GCT'nin neden P ile NP'yi kaldırabildiği düşünülüyor? Buraya ulaşmanın 100 yıldan uzun sürmesi bekleniyorsa, iddianın değeri nedir? Diğer mevcut yaklaşımlara ve önümüzdeki 100 yıl içinde yükselebilecek olanlara avantajları nelerdir?

2. Programın şu andaki durumu nedir?

3. Programın bir sonraki hedefi nedir?

4. Programın herhangi bir temel eleştirisi var mı?

Cebirsel geometri ve varsayılan temsil teorisinden elde edilen minimum geçmişe sahip genel bir karmaşıklık teorisyeni tarafından anlaşılabilecek cevapları tercih ederim.

Diğerlerinin de belirttiği gibi, bu soruların çoğu hakkında Mulmuley, Regan ve diğerleri tarafından çok şey söylendi. Burada, yorumlarda henüz belirtilmeyen bazı kilit noktaların neler olduğunu düşündüğüm şeyin kısa bir özetini sunacağım.

1. $P \neq NP$

2. • GCT'de ortaya çıkan cebirsel çeşitleri, gösterimleri ve algoritmik soruları anlama konusunda bazı ilerlemeler kaydedilmiştir. Bu konuda kimin çalıştığını bildiğim başlıca araştırmacılar (belirli bir sıra ile değil): P. Burgisser, C. Ikenmeyer, M. Christandl, JM Landsberg, KV Subrahmanyan, J. Blasiak, L. Manivel, N. Ressayre, J. Weyman, V. Popov, N. Kayal, S. Kumar ve tabii ki K. Mulmuley ve M. Sohoni.

   • Daha somut olarak, Burgisser ve Ikenmeyer az önce (STOC 2011) GCT yaklaşımını ( kullanarak matris çarpımında bazı mütevazı sınırlar sundu.$n^2 + 2$$\frac{3}{2}n^2 +O(n)$

   • N. Kayal, bir polinomun bir başkasının yörüngesinde olduğu veya başka bir çıkıntısı olduğu zaman, algoritmik test sorusu üzerine birkaç makaleye sahiptir. Genel olarak bu sorunların NP zor olduğunu, ancak kalıcı, determinant ve ilkel simetrik polinomlar gibi özel fonksiyonlar için, bu problemlerin P de azaltılabildiğini gösteriyor. kapatma - determinant gibi özel fonksiyonlar için P’de bulunur).

3. Bu konuda söylenecek 2 cevabından daha kesin bir şeyim yok.

4. Bildiğim kadarıyla temel bir eleştiri olmadı , bir anlamda programı gerçekten hiçbir şekilde eleştirmeyen herhangi bir eleştiri görmedim. Bu tür tekniklerin neden gerekli olması gerektiği, programın değerinin beklenen uzun süre ufku verilen vs. gibi olduğu konusunda kesinlikle tartışmalar yapıldı, ancak bunları temel eleştiriden daha sağlıklı bir tartışma olarak nitelendireceğim.

Ketan D'nin bu makalesini düşünüyorum. Mulmuley en azından 1. soruyu (muhtemelen 2) P'ye karşı NP ve Geometrik Karmaşıklık Teorisi'ne cevap verecektir.