Sonuçları

ise bütün PH'nun çöktüğünü biliyoruz . Polinom hiyerarşisi kısmen çökerse ne olur? (Veya PH'nin aşağıda değil, belirli bir noktanın üzerine çökebileceğini nasıl anlayabilirim?)$P=NP$

Daha kısaca, ve P ≠ N P'nin sonuçları ne olur ?$NP=coNP$$P\ne NP$

Bana göre, en temel ve şaşırtıcı sonuçlarından biri , neden kısa kanıtlara sahip olmalarını görmenin çok zor olduğu bir dizi sorun için kısa kanıtların varlığıdır. (Bu, "Bu çöküşün başka karmaşıklık etkileri nelerdir?" Den "Bu çöküşün şaşırtıcı olmasının en temel, yeryüzüne düşme nedenleri nelerdir?" Den bir adım geri atmaktır.)$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

Örneğin, , Hamiltonian olmayan her grafik için bu gerçeğin kısa bir kanıtı vardır. Benzer şekilde 3 renklendirilemeyen grafikler için. Benzer şekilde izomorfik olmayan grafik çiftleri için. Benzer şekilde herhangi bir öneri totolojisi için .$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

Bir dünyada böyle bir dünyada - çünkü, önermeler totolojileri kanıtlamakta zorluk bazı kısa totolojilerdir uzun kanıtlar olması değil her totolojidir bir polynomially kısa kanıt bulunduğunu - ama bazı orada daha ziyade bu bu kanıtları verimli bir şekilde bulamamamızın başka bir nedeni.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$

Ayrıca varsayarsak , hipotez de rastgele sınıfların çökmesine neden olur:$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$$\,\,\mathsf{ZPP}=\mathsf{RP}=\mathsf{CoRP}=\mathsf{BPP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$

$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\,\,\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}=\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}=\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$

$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{BPP}= \mathsf{P}$

${\bf \#P}$

${ \rm \underline {Valiant's-Definition:}}$ For any class $C$, define $\#C =\cup_{A\in C}(\#P)^{A}$, where $({\#P}^A)$ means the functions counting the accepting paths of nondeterministic polynomial-time Turing machines having $A$'s their oracle.

${\bf \#NP} = {\bf \#CoNP}$

${ \rm \underline {Toda's-Definition:}}$$C$$\# .C$$f$$C-$$R$$p$$x$$f(x)=||\{y|p(|x|)=|y|$$R(x,y)\}||$

${\bf \#.NP} = {\bf \#.CoNP}$${\bf NP} = {\bf CoNP}$

${\bf P}\not = {\bf NP}$${\bf FP} \not = {\bf \# P}$

Ker-i Ko PH'u k-inci seviyede çökerten bir kehanetin olduğunu gösterdi. Bkz. "Ker-I Ko: Tam olarak K Seviyelerine Sahip Göreli Polinom Zaman Hiyerarşileri. SIAM J. Comput. 18 (2): 392-408 (1989)".