Maksimum bağımsız sette vaat edilen bir üst sınır ile yaklaşık grafik rengi

İşimde şu sorun ortaya çıkıyor:

Bağımsız bir sıra 65 seti olmadan bir grafiğin kromatik sayısına yaklaşan bilinen bir algoritma var mı? (Yani alfa (G) <= 64 bilinir ve | V | / 64 önemsiz bir alt, | V | önemsiz bir üst sınırdır. Ancak bu özel koşul altında daha iyi kanıtlanmış yaklaşımlar var mı?)

Kesirli kromatik sayıya gevşersek ne olur? Ve ortalama durumlarda "iyi" çalışma sürelerine?

— cyrix42
kaynak

Bu site için mükemmel bir soru olduğunu düşünüyorum; umarım birisinin iyi bir cevabı vardır.

— Jukka Suomela

@TysonWilliams: Bence soru gayet açık. Yorumu unutun, soruyu tekrar okuyun. :)

— Jukka Suomela

Komik olan, bu koşulların önemsiz yaklaşımın optimum seviyeye 64 yaklaşımı olduğunu garanti etmesi. Sadece küçük bir bağımsızlık numarası vaadinin daha iyi bir algoritma verip veremeyeceğini merak ediyorum.

— Sasho Nikolov

Sorun pratik uygulama tarafından motive ediliyor mu? Eğer öyleyse, iyi yapacak ilginç buluşsal yöntemlere odaklanmalıdır - önemsiz 64 yaklaşımını geliştirmek o kadar da ilginç değildir.

— Chandra Chekuri

O (n^{64})

$O(n^{64})$

Yanıtlar:

Giriş grafiğinin tamamlayıcısında bir maksimum eşleme hesaplayın. Eşleşmeyen her düğüm, herhangi bir renklendirmede farklı bir renk sınıfında olmalıdır. Yani: en az cn uyumlu kenarlar elde ederseniz, eşleştirmenin kendisi size üst sınırı (1-c) n ve yaklaşık oranı 64 (1-c) olan bir renk verir. En az cn kenarınız yoksa, (1 - 2c) n renklerin alt sınırını ve 1 / (1-2c) yaklaşık oranını elde edersiniz. 64 (1-c) = 1 / (1-2c) denkleminin çözülmesi, 32'den biraz daha büyük bir yaklaştırma oranına yol açar; kesin değer için Sasho Nikolov'un yorumuna bakınız.

— David Eppstein
kaynak

c = 3 / 16 (4 - \sqrt{2}) \approx 0.5

$c = 3/16 (4-\sqrt{2}) \approx 0.5$

\approx 32

$\approx 32$

k

$k$

α (G)

$\alpha(G)$

\frac{k}{2}

$\frac{k}{2}$

k

$k$

$H$ $H$

http://en.wikipedia.org/wiki/Colouring_number#Algorithms

— Andrew D. King
kaynak

Küçük düzeltme: açgözlü bir renklendirmede renk sayısının en az sayıda renge eşit olduğu doğru değildir. Köşeleri renklerine göre en uygun renklendirmeyle sipariş ederseniz (ilk renk sınıfının en yüksek olduğu ve ikincisi kalan grafikte en yüksek olduğu özelliğiyle), o zaman açgözlü algoritma aynı en uygun renklendirmeyi bulur.

— David Eppstein