Sınırlı üçlü genişlik grafikleri için yasak küçükler

Bu soru benzer biri benim önceki sorulardan. Bu bilinmektedir en treewidth grafikleri için yasak küçük olan$K_{t+2}$ .$t$

Her treewidth için minimum yasaklanmış küçükler olan güzel yapılandırılmış, parametrelenmiş, sonsuz bir grafik ailesi (tam grafikler ve ızgara grafikler hariç) var mı? Diğer bir deyişle, açık bir grafik yer almaktadır ilgili r, köşe (değil tam bir grafik) bu şekilde G r en treewidth grafikleri için yasak küçük olan r , r, bir fonksiyonudur t ?$G_r$$r$$G_r$$r$$r$$t$

Yasaklı minörlerin tüm setleri, en fazla üç trewidth grafiği için bilinir. Daha fazla ayrıntı için bu Wikipedia makalesine bakın.

Üç en fazla treewidth grafik yasak küçükler kümesi biliniyor mu?

$tw(G)=tw(H)+2$$G$$x$$y$$x$$y$$n-2$$H$$n-2\ge tw(H)+2$$x$$y$$x$$y$, and we can restrict the tree decomposition to that intersection, giving a tree decomposition in which $x$ and $y$ participate in every tree node.

This implies that the hyperoctahedral graph $K_{2,2,2,\dots}$ with $2k$ nodes is a minimal forbidden minor for width $2k-3$. For, the octahedral graph $K_{2,2,2}$ is a minimal forbidden minor for width three, from which the argument above shows that the hyperoctahedral graph has width $2k-2$. And if any edge contraction or edge deletion is performed in the hyperoctahedral graph, the symmetries of the graph allow us to assume that the operation is happening to one of the twelve edges in the base octahedron, causing its width and the width of all the hyperoctahedra built from it to decrease.

(The other class of graphs you should be including in your question along with the complete graphs are the grid graphs. An $r\times r$ grid has treewidth $r$. It's separate from the complete graph minors because its planar and therefore has no complete minor with more than four vertices. It's not a minimal forbidden minor, though, because some small changes (such as contracting the corner vertices) don't change its treewidth.)

In Sparse obstructions and exact treewidth determination, Lucena states that in the PhD thesis of Sanders, "75 or so minimal forbidden minors for treewidth $\leq 4$ are given, and it is believed though not proven that this may constitute the entire obstruction set."