Tetrahedronun durumunu nasıl bulabilirim?

Ben bulmak için en minimize denklemin arıyorum merkez koordinatları ve yarıçapı a tetrahedron circumsphere dört 3D puan verildi.

İnternette bulduğum şey, düz bir 3D üçgenin veya bazı kaba matematiksel tanımların veya normal tetrahedronlar gibi çok tek bir durumun çember küre ile ilgilidir. Her neyse, aşağıdaki denklemi bulmayı başardım ama bir şey kaçırdım:

    ->  ->      ->
let d1, d2, and d3 three vectors of any face of the triangle :

    | d1x  d1y  d1z |   | x |   | d1^2 |
2 * | d2x  d2y  d2z | * | y | = | d2^2 |
    | d3x  d3y  d3z |   | z |   | d3^2 |

Bu alandaki bilgimin sınırları var ama bence matrisler ve vektör işlemleri yapabilirim. Ancak denklemin sağ kısmı her vektörün normunun karesi midir? (bunlar bir vektör içerisindedir). Denklem geçerli mi? | D1 | ^ 2 yazmayı tembellik eden sadece yazar mı? Ya da bazı matematiksel özellikleri tanımlamanın yaygın bir yoludur.

Not: Bu bir Delaunay Nirengi uygulaması için. Denklem (sayı 9) aşağıdaki bağlantıdadır: https://www2.mps.mpg.de/homes/daly/CSDS/t4h/tetra.htm

Bu eski bir konu olsa da, gelecek nesiller için biraz referans vermenin iyi olabileceğini düşündüm. Formülün kaynağı Philip J. Schneider ve David H. Eberly'nin Bilgisayar Grafikleri için Geometrik Araçlar'dan alınmıştır . Metne göre dikkat edilmesi gereken bir şey

Tetrahedron V0, V1, V2, V3, kanonik olana (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) izomorfik olacak şekilde sıralanır. ).

İzomorfizmi anladığım gibi , geometride kullanıldığında birkaç farklı anlam olabilir. Grafik teorisi ile ilgili izomorfik anlamına gelirse, herhangi bir tetrahedronun topolojisi aynı olduğu için aşağıdaki kod doğru davranmalıdır (K4, tam bir grafik). Ben volfram alfa karşı işlevinin sonuçlarını test kanonik köşe sıralamada çeşitli permütasyon kullanarak ve ben sonuçlar açısından fark gördük. Sıralamanın bir sorun olduğu kanıtlanırsa, bu fonksiyona girdikten sonra V1, V2, V3 köşelerinin oluşturduğu üçgenin normalini incelemenizi ve noktalara bir nokta-ürün testi ile noktaların bir nokta ürün testi ile muamele edilmesini öneriyorum. eğer o üçgen doğru yöne bakıyorsa. Değilse, basitstd::swapüçgenin köşelerinden herhangi biri normalin yönünü tersine çevirir ve devam edebilirsiniz. Ama dediğim gibi, çeşitli permütasyonlarla hiçbir fark görmedim.

İşte herhangi bir uygulama karışıklığı önlemek için matrisler kullanmadan çevrilen kod, oldukça basittir;

void Circumsphere(const Vec3& v0, const Vec3& v1, const Vec3& v2, const Vec3& v3, Vec3* center, float* radius)
{
  //Create the rows of our "unrolled" 3x3 matrix
  Vec3 Row1 = v1 - v0;
  float sqLength1 = length2(Row1);
  Vec3 Row2 = v2 - v0;
  float sqLength2 = length2(Row2);
  Vec3 Row3 = v3 - v0;
  float sqLength3 = length2(Row3);

  //Compute the determinant of said matrix
  const float determinant =   Row1.x * (Row2.y * Row3.z - Row3.y * Row2.z)
                            - Row2.x * (Row1.y * Row3.z - Row3.y * Row1.z)
                            + Row3.x * (Row1.y * Row2.z - Row2.y * Row1.z);

  // Compute the volume of the tetrahedron, and precompute a scalar quantity for re-use in the formula
  const float volume = determinant / 6.f;
  const float iTwelveVolume = 1.f / (volume * 12.f);

  center->x = v0.x + iTwelveVolume * ( ( Row2.y * Row3.z - Row3.y * Row2.z) * sqLength1 - (Row1.y * Row3.z - Row3.y * Row1.z) * sqLength2 + (Row1.y * Row2.z - Row2.y * Row1.z) * sqLength3 );
  center->y = v0.y + iTwelveVolume * (-( Row2.x * Row3.z - Row3.x * Row2.z) * sqLength1 + (Row1.x * Row3.z - Row3.x * Row1.z) * sqLength2 - (Row1.x * Row2.z - Row2.x * Row1.z) * sqLength3 );
  center->z = v0.z + iTwelveVolume * ( ( Row2.x * Row3.y - Row3.x * Row2.y) * sqLength1 - (Row1.x * Row3.y - Row3.x * Row1.y) * sqLength2 + (Row1.x * Row2.y - Row2.x * Row1.y) * sqLength3 );

  //Once we know the center, the radius is clearly the distance to any vertex
  *radius = length(*center - v0);
}