Kuantum bilgisayar kullanarak ne tür sorunların daha etkin bir şekilde çözülebileceğine dair genel bir ifade var mı?

Kuantum bilgisayarları kullanarak ne tür sorunların daha etkin bir şekilde çözülebileceğine dair genel bir ifade var mı (sadece kuantum geçidi modeli)? Algoritmanın bilinen bir problemi bugün ortak bir özelliğe sahip midir?

Anladığım kadarıyla kuantum hesaplama, gizli alt grup problemine (Shor) yardımcı olur; Grover algoritması arama sorunlarının hızlandırılmasına yardımcı olur. Bir fonksiyonun 'global özelliğini' ararsanız, kuantum algoritmalarının hızlanabileceğini okudum (Grover / Deutsch).

1. Kuantum hesaplamanın nerede yardımcı olabileceği konusunda daha kısa ve doğru bir ifade var mı?
2. Kuantum fiziğinin orada neden yardım edebileceği hakkında bir açıklama yapmak mümkün müdür (tercihen 'parazitten yararlanılabilecek daha derin bir şey')? Ve neden diğer problemlere yardımcı olmayacak (örneğin NP-komple problemler için)?

Bunu tartışan ilgili yazılar var mı?

Bu soruyu daha önce cstheory.stackexchange.com adresinde sormuştum ama burada daha uygun olabilir.

Genel olarak hesaplamalı yardım üzerine

Belki de farkında olmadan, teorik bilgisayar bilimi hakkında sorabileceğiniz en zor sorulardan birinin bir versiyonunu soruyorsunuz. Aynı soruyu klasik bilgisayarlar hakkında da sorabilirsiniz, yalnızca 'kuantumluluk' eklemenin yararlı olup olmadığını sormak yerine, şunu sorabilirsiniz:

• Randomize algoritmaların nerede yardımcı olabileceği konusunda kısa bir ifade var mı?

  Burada çok belirsiz bir şey söylemek mümkündür - eğer çözümlerin bol olduğunu (veya bazı alt problemlerin çözüm sayısının bol olduğunu) düşünüyorsanız, ancak sistematik olarak bir tane inşa etmenin zor olabileceğini düşünüyorsanız, o zaman bunu yapabilmeniz yararlı olacaktır. sistematik yapı sorununu aşmak için rastgele seçimler. Ama bazen, nedenini dikkat niye Bir alt probleme bol çözümler kullanarak bir kanıt olmadığından olduğunu biliyoruz olasılık yöntemi . Bu durumda, çözümlerin sayısının, yararlı bir randomize algoritma olanın azaltılmasıyla bol olduğunu biliyorsunuzdur!

  Bu vakalar için çözüm sayısının bol olduğu gerçeğini haklı çıkarmanın başka bir yolu yoksa, randomize bir algoritmanın ne zaman yardım edebileceği konusunda basit bir açıklama yoktur. Yeterince yüksek “yararlılık” (süper-polinom avantajı) talepleriniz varsa, o zaman sorduğunuz şey karmaşıklık teorisinde çözülmemiş bir problem olan olup olmadığıdır . $\mathsf P \ne \mathsf{BPP}$
  
  

• Paralelleştirilmiş algoritmaların nerede yardımcı olabileceği konusunda kısa bir ifade var mı?

  Burada işler biraz daha iyi olabilir. Eğer bir problem birçok bağımsız alt-probleme bölünmüş gibi görünüyorsa, o zaman paralelleştirilebilir - bu belirsiz olsa da, "gördüğün zaman bilirsin" bir tür kriterdir. Ana soru, olacak gördüğünüzde bunu biliyorsun? Lineer denklem sistemlerinin rasyoneller üzerinden test edilebilirliğinin test edilmesinin sadece paralelleştirilemez, aynı zamanda -depth devreleri [cf  Comput. Kompleks. 8 (sf. 99-126), 1999 ].$O(\log^2 n)$

  İnsanların bunun için büyük bir resim sezgisini boyamaya çalışmasının bir yolu, soruyu zıt yönden ele almak ve paralelleştirilmiş bir algoritmanın işe yaramayacağı biliniyor . Spesifik olarak, problemin kendine özgü sıralı bir yönü varsa, bu işe yaramayacaktır. Ancak bu daireseldir, çünkü 'sıralı' sadece sorun için görebileceğiniz yapının paralel olmayan bir yapı olduğu anlamına gelir.

  Yine, paralelleştirilmiş bir algoritmanın ne zaman yardım edebileceğinin basit ve kapsamlı bir açıklaması yoktur. Eğer 'yardımseverlik' (bir poli-logaritmik üst zaman miktarı ile ilgili bağlı polinom paralelleştirilmesi varsayılarak) yeterince yüksek talepleri varsa, o zaman ne soran olup $\mathsf P \ne \mathsf{NC}$ daha karmaşık teorik olarak çözülmemiş bir sorundur, .
  
  

“[X] 'in ne zaman yararlı olduğu konusunda kısa ve öz açıklamaların olması) bu noktada pek iyi görünmüyor. Burada çok katı olduğumuzu protesto etmene rağmen: polinom avantajından daha fazlasını talep etmek gerekçesiyle, deterministik olmayan Turing makinelerinin 'yararlı' olduğunu bile iddia edemedik (açıkça saçma). Biz bu kadar yüksek bar talep etmemelidir - tekniklerin yokluğunda verimli Gerçeklenebilirlik çözmek, en azından kabul etmelidir eğer her nasılsa olmayan bir deterministik Turing makinesi elde edebilir, biz gerçekten de bulur çok çok yararlı . Ancak bu, hangi problemleri için yararlı bulacağımızı tam olarak karakterize edebilmekten farklıdır .

Kuantum bilgisayarların yardımları üzerine

Geri adım atmak, kuantum bilgisayarların nerede yararlı olduğu hakkında söyleyebileceğimiz herhangi bir şey var mı?

Bunu söyleyebiliriz: Kuantum bilgisayar, ancak klasik bir bilgisayarda bulunmayan bir sorunun yapısından yararlanıyorsa ilginç bir şey yapabilir. (Bu, bahsettiğiniz gibi, bir problemin “küresel mülkü” ile ilgili açıklamalar ile ima edilmektedir). Ancak bundan daha fazlasını söyleyebiliriz: üniter devre modelindeki kuantum bilgisayarların çözdüğü problemler , üniter operatörler olarak bu sorunun bazı özelliklerini ortaya koyacaktır . Klasik bilgisayarlarda bulunamayan problemin özellikleri, standart olarak (muhtemelen) istatistiksel olarak anlamlı bir ilişkisi olmayan tüm özellikler olacaktır.

• Shor algoritması durumunda, bu özellik bir halka üzerinde çarpma açısından tanımlanan bir permütasyon operatörünün özdeğerleridir.
• Grover'in algoritması durumunda, bu özellik işaretli durum kümeleri hakkındaki yansımaların tekdüze süperpozisyon hakkındaki yansımasıyla ilerlediğidir - bu, Grover yineleyicisinin olmayan bir özdeğerleri olup olmadığını belirler .$\pm 1$

Her iki durumda da bilginin özdeğerler ve özvektörlerle ilgili olduğunu görmek şaşırtıcı değildir. Bu, standart olarak anlamlı bir ilişki kurması gerekmeyen bir operatör özelliğinin mükemmel bir örneğidir. Ancak, bilginin özdeğer olması için özel bir neden yoktur. Gerekli olduğunu Tüm standart temelini inceleme ile açık değildir problemin gerekli bazı özelliğini kodlayan, üniter operatörü tanımlamak mümkün olmakla birlikte, bir başka kolaylıkla belirtilen şekilde erişilebilir.

Sonunda, tüm bunlar diyor ki, bir sorunu çözmek için bir kuantum algoritması bulabileceğinizde kuantum bir bilgisayarın yararlı olduğu. Fakat en azından kuantum algoritmalarını bulma stratejisinin geniş bir taslağıdır; bu, rastgele veya paralelleştirilmiş algoritmalar için yukarıda tanımladığım stratejilerin ana hatlarından daha kötü değildir.

Bir kuantum bilgisayarının ne zaman faydalı olduğu üzerine açıklamalar

Burada başkalarının belirttiği gibi, “kuantum hesaplamanın yardımcı olabileceği yerler”, “yardım” ile neyi kastettiğinize bağlıdır.

• Shor algoritması genellikle bu tür tartışmalara trotted ve bir kez insanlar o factorisation bilmiyoruz işaret ederken değil polinom zamanlı olarak çözülebilir. Öyleyse, aslında "kuantum hesaplamanın sayıları çarpanlara ayırmada yardımcı olacağını" biliyor muyuz?

  Kuantum bilgisayarları gerçekleştirmedeki zorlukların yanı sıra, burada makul cevabın 'evet' olduğunu düşünüyorum; geleneksel bilgisayarları kullanarak etkili bir şekilde faktörize edemediğinizi bilmediğimiz için değil , geleneksel bilgisayarları kullanarak nasıl yapacağınızı bilmediğimiz için değil . Kuantum bilgisayarları, yapmak için daha iyi bir yaklaşıma sahip olmadığınız bir şeyi yapmanıza yardım ederse, bana bunun 'yardımcı' olduğu anlaşılıyor.

• $O(2^{0.386\,n})$

  Belki Grover algoritması gibi özellikle yararlı değildir. Bununla birlikte, kaba kuvvet araştırmasının ötesinde daha zeki klasik stratejiler geliştirmek için kullanırsanız yararlı olabilir: Genlik amplifikasyonunu kullanarak , Grover'in algoritmasının doğal ortamını daha genel ayarlara genellemesi kullanarak , SAT (bkz. Örneğin [ACM SIGACT News  36 (s.103-108), 2005 - ücretsiz PDF bağlantısı ]; yorumlarda bu referansı gösteren Martin Schwarz'a şapka ucu).

  Grover'in algoritmasında olduğu gibi, genlik amplifikasyonu yalnızca polinom hızlandırmaları sağlar: ancak pratik olarak konuşursak, polinom hızlanma bile kuantum bilgisini gürültüye karşı korumakla ilişkili tepegöz tarafından yıkanmadığı takdirde ilginç olabilir.

TL; DR: Hayır, kuantum bilgisayarların karmaşıklık teorisi açısından tam olarak ne tür problemleri çözebileceği konusunda kesin bir "genel" ifademiz yok . Ancak, kaba bir fikrimiz var.

Wikipedia'nın hesaplamalı karmaşıklık teorisi ile ilişkisi üzerine yazılmış makalesine göre

Kuantum bilgisayarlar tarafından etkin bir şekilde çözülebilecek problemler sınıfına "sınırlı hata, kuantum, polinom süresi" için BQP adı verilir . Kuantum bilgisayarlar yalnızca olasılıksal algoritmalar kullanır , bu yüzden kuantum bilgisayarlardaki BQP , klasik bilgisayarlardaki BPP'nin ("sınırlı hata, olasılıklı, polinom süresi") karşılığıdır. Hata ihtimalinin bir buçuktan uzağa bağlı olduğu bir polinom-zaman algoritması ile çözülebilen problemler kümesi olarak tanımlanır . Kuantum bir bilgisayarın, her durumda cevabı yüksek olasılıkla doğru olacaksa, bir sorunu "çözdüğü" söylenir. Bu çözüm polinom zamanında çalışıyorsa, o zaman bu sorun BQP'dedir.

BQP karmaşıklığı sınıfı içinde yer alır #p (veya daha doğru olarak, karar sorunları P ilişkili sınıf ^#P ) 'in bir alt sınıfı, Pspace .

BQP'nin NP tamamlamadan ve katı bir P süpersetinden ayrıldığından şüpheleniliyor, ancak bu bilinmiyor. Hem tamsayılı çarpanlara ayırma hem de ayrık kütük BQP'dedir. Bu sorunların her ikisinin de BPP dışında olduğundan ve dolayısıyla P dışında olduğundan şüphelenilen NP problemleridir. Kuantum bilgisayarların polinom zamanında NP-komple sorunları çözebilecekleri konusunda yaygın bir yanılgı bulunmaktadır. Bunun doğru olduğu bilinmemektedir ve genellikle yanlış olduğundan şüphelenilmektedir.

Bir kuantum bilgisayarın klasik algoritmaları hızlandırma kapasitesi katı sınırlara sahiptir - kuantum hesaplamanın karmaşıklığının üst sınırları. Klasik hesaplamaların ezici kısmı kuantum bilgisayarda hızlandırılamaz. Benzer bir gerçek, Grover'in algoritmasının en uygun olduğu arama problemi gibi belirli hesaplama görevleri için de geçerlidir.

${\displaystyle O({\sqrt[{3}]{N}})}$$\displaystyle O({\sqrt {N}})$

Her ne kadar kuantum bilgisayarlar bazı problem tipleri için klasik bilgisayarlardan daha hızlı olsalar da, yukarıda açıklananlar klasik bilgisayarların zaten çözemediği hiçbir sorunu çözemez. Bir Turing makinesi bu kuantum bilgisayarları taklit edebilir, böylece böyle bir kuantum bilgisayar, durma sorunu gibi çözülemeyen bir sorunu asla çözemez. "Standart" kuantum bilgisayarların varlığı, Kilise-Turing tezini bozmaz. M-teorisi veya döngü kuantum gravitesi gibi kuantum gravite teorilerinin daha hızlı bilgisayarların kurulmasına izin verebileceği düşünülmektedir. Günümüzde, bu tür teorilerde hesaplamanın tanımlanması, zaman sorunu nedeniyle açık bir sorundur, yani şu anda bir gözlemcinin bir bilgisayara girdi göndermesi ve daha sonra çıktı alması için ne anlama geldiğinin açık bir yolu yoktur.

Kuantum bilgisayarların BQP sorunlarını neden etkili bir şekilde çözebildiklerine gelince :

1. $n$$2n$

2. Genellikle, kuantum bilgisayardaki hesaplama bir ölçümle sona erer. Bu, kuantum durumunun temel durumlardan birine çökmesine neden olur. Kuantum durumunun yüksek olasılıkla doğru durumda olduğu ölçüldüğü söylenebilir.

İlginçtir ki, teorik olarak seçime izin verirsek (ölçeklenebilir pratik bir uygulamaya sahip olmayan), BQP sonrası karmaşıklık sınıfını alırız :

Hesaplamalı karmaşıklık teorisinde, PostBQP, postelection ve sınırlanmış hata ile kuantum Turing makinesinde polinom zamanında çözülebilen tüm hesaplama problemlerinden oluşan bir karmaşıklık sınıfıdır (algoritmanın tüm zamanların en az 2 / 3'ü doğru olduğu anlamında) girişler). Bununla birlikte, Mesaj Seçimi, gerçekçi bir bilgisayarın (hatta bir kuantum olanı) sahip olacağı bir özellik olarak kabul edilmez, ancak yine de posta seçme makineleri, teorik açıdan ilginçtir.

Yorumlar bölümünde @Discrete kertenkelesinin bahsettiğini eklemek isterim . "Yardım edebilir" derken neyi kastettiğinizi açıkça tanımlamamışsınızdır, ancak karmaşıklık teorisindeki temel kural, eğer bir kuantum bilgisayar polinom zamanında çözme açısından (bir hatayla) "yardım edebilirse" BQP'de yalanları çözebilecek problem P veya BPP'de değil. Yukarıda tartıştığımız karmaşıklık sınıfları arasındaki genel ilişkinin şu şekilde olduğundan şüpheleniliyor :

$\text{P $\subseteq$ BPP $\subseteq$ BQP $\subseteq$ PSPACE}$

Ancak, P = PSPACE, Bilgisayar Bilimleri'nde açık bir problemdir . Ayrıca, P ve NP arasındaki ilişki henüz bilinmemektedir.

Böyle bir genel açıklama yok ve yakında bir ihtimal olması pek mümkün değil. Neden böyle olduğunu açıklayacağım. Sorunuza kısmi bir cevap için, BQP ve PostBQP'nin iki karmaşıklık sınıfındaki problemlere bakmak yardımcı olabilir.

Kuantum geçit modelinin kuantum bilgisayarları tarafından etkin bir şekilde çözülebilen sorunlara en yakın olan karmaşıklık sınıfları;

1. BQP ; ve
2. PostBQP

BQP, polinom zamanında kuantum devre üzerinde çözülebilen problemlerden oluşur. Shor algoritması gibi en önemli kuantum algoritmaları BQP'deki problemleri çözer.

$=$

Bununla birlikte, şu anda post-seçimi pratik olarak uygulayacak bir yöntem yoktur , bu nedenle PostBQP daha teorik olarak ilgi çekmektedir.

P, NP ve BQP arasındaki ilişki şu anda bilinmemektedir; ve P ile NP arasındaki açık bir problem. Kuantum bilgisayarları kullanarak ne tür sorunların daha etkin bir şekilde çözülebileceğine dair genel bir açıklama olarak , BQP'ye karşı P sorusuna cevap vermelidir (BQP = P ise, o zaman açıkça kuantum bilgisayarları daha verimli değildir) (en azından karmaşıklık teorisyenlerine)

Blue'nun resmine benzer şekilde, Quanta Magazine'den bunu daha çok seviyorum , çünkü ne hakkında konuştuğumuzu görsel olarak özetliyor gibi görünüyor.