Tanrı'nın Numarası İçin Kuantum Algoritması

Tanrı'nın numarası en kötü durumdur Tanrı'nın algoritması olan

Rubik Küp bulmacasını çözmenin yollarının tartışılmasından kaynaklanan ancak diğer birleştirici bulmacalara ve matematiksel oyunlara da uygulanabilen bir kavram. Mümkün olan en az hamleye sahip bir çözüm üreten herhangi bir algoritmaya atıfta bulunur, bu fikir, her şeyi bilen bir varlığın herhangi bir yapılandırmadan en uygun adımı bilmesi gerektiğidir.

Tanrı'nın sayısını 20 olarak hesaplamak "35 CPU-yıllık boşta (klasik) bilgisayar zamanı" aldı.

Kuantum yaklaşımı ile ne tür bir hızlanma sağlanabilir?

Rubik küpü Cayley grafiğini düşünebiliriz $\Gamma=(V,E)$ her (renkli) kenar ile $E$ Singmaster hamlelerinden biri olmak $\langle U,U^{2},U^{3}=U^{-1},D,D^{2},D^{3},\cdots\rangle$ ve her köşe $V$ biri olmak $43252003274489856000\approx 4.3e{19}$ farklı konfigürasyonları $3\times 3\times 3$ küpler.

Çapı , bir grafiğin grafikte uzun en kısa yoldur. Çapı belirlemek için klasik algoritma$\vert V \vert$; örneğin, kardeş bir siteden gelen bu cevaba bakınız .

Yukarıda belirtildiği gibi, Tanrı'nın numarası bu çapla (ilgili); bir gruptaki Cayley grafiğinin köşe noktaları arasındaki en kısa yolu bilmek için, çözülmüş durumdan kaç adım uzakta olduğunu bilmek yeterlidir. Diğerleri arasında Rokicki, Kociemba, Davidson ve Dethridge sayesinde Tanrı'nın sayısının$20$. Yürüttükleri algoritmalar çok terimli$\vert V\vert$, örneğin polinom $4.3e{19}$.

Heiligman'ın yorumlarda belirtilen grafik çapı için kuantum algoritması, Djikstra'nın algoritmaları üzerinde bir Grover hızlandırması elde ediyor ve "toplam kuantum maliyeti $O(|V|^{9/4})$Ancak, Heiligman'ın grafiği klasik bir algoritma kadar kodladığına inanıyorum; örneğin, $O(|V|)$qubits. Açıkça, eğer$|V|=4.3e{19}$ o zaman bu yardımcı olmaz.

Bunun yerine, diğer sorularda ima edildiği gibi, bir Rubik küpünü kodlamanın başka bir yolu, elbette herkes üzerinde üniform bir süperpozisyon hazırlamaktır.$4.3e{19}$devletler. Bu sadece$\log 4.3e{19}$ qubits.

Kuantum algoritmaları, "özdeğerler" ve "özvektörler" ve "özdeğerler" hakkında konuşmakta iyidir. Tüm Singmaster hareketlerini herkesin tekdüze bir süperpozisyonuna uygulamak$4.3e{19}$devletler devleti değiştirmez; yani, homojen süperpozisyon, Cayley grafiğindeki Markov zincirinin bir özdendir.

Arasındaki ilişkiler vardır çapı bir grafik ve özdeğerler / özvektörler gelen bitişiklik / Laplace matris, özellikle spektral aralıkta, en büyük iki özdeğerler arasındaki mesafe ($\lambda_1-\lambda_2$). "Çap özdeğeri" ile ilgili hızlı bir Google araması bunu üretir ; Benzer Google aramalarını keşfetmenizi öneririm.

Spektral boşluklar tam olarak adyabatik algoritmayı sınırlayan şeydir . Böylece, belki de bir adyabatik algoritmanın Rubik küp grubunun çeşitli alt grupları / alt uzayları için tekdüze üst üste gelmeden çözülmüş duruma geçmesi için ne kadar hızlı çalışması gerektiğini bilmek, spektral boşluğu tahmin edebilir ve bunu Tanrı'nın sayısını sınırlamak için kullanabilir. Ama buradaki ligimden hızla çıkıyorum ve herhangi bir doğruluk hissinin elde edilebileceğinden şüpheliyim.