5 kubitten daha az kod düzeltme hatası neden olamaz?

Son zamanlarda 9-qubit, 7-qubit ve 5-qubit hata düzeltme kodlarını okudum. Ama neden 5'ten az qubit ile kuantum hatası düzeltme kodu olamaz?

En az 5 kübite (veya quadite) ihtiyacınız olduğunu gösteren bir kanıt

Burada herhangi bir tek hata düzeltme ( yani mesafe 3) kuantum hata düzeltme kodunun en az 5 qubit olduğuna dair bir kanıt vardır . Aslında, herhangi bir boyut, qudits bu genelleştirir ve herhangi bir kuantum hata düzeltme kodu boyut, bir veya daha fazla qudits koruyucu .$d$$d$

( Felix Huber'in belirttiği gibi , en az 5 kubite ihtiyacınız olduğunu gösteren orijinal kanıt, Knill - Laflamme koşullarını belirleyen Knill - Laflamme makalesinden [ arXiv: quant-ph / 9604034 ] kaynaklanmaktadır: aşağıdaki kanıt tekniği bu da günümüzde daha yaygın olarak kullanılmaktadır.)

Düzeltebilirsiniz Herhangi kuantum hata düzeltme kodu bilinmeyen hataları, ayrıca kadar düzeltebilir (biz sadece bazı qubit kaybettiğiniz veya tamamen depolarize veya benzeri olur) silme hataları sildim qubits yerleri biliniyorsa. [1 saniye. III A] *. Biraz daha genel olarak, mesafesini düzelten bir kuantum hatası silme hatalarını tolere edebilir . Örneğin, Kodu hiçbir hatayı düzeltemezken, özünde bir hatanın meydana geldiğini (ve hatta hangi hata türünü) söyleyebilir, ancak hangi qubit değil aynı kod tek bir silme hatasına karşı koruyabilir (çünkü hipotezle hatanın bu durumda nerede oluştuğunu tam olarak biliyoruz).$t$$2t$$d$$d-1$$[\![4,2,2]\!]$

Bir Pauli hatasını tolere edebilen herhangi bir kuantum hatası düzeltme kodunun iki kubitin kaybından kurtulabileceği anlaşılmaktadır. Şimdi: üzerinde kuantum hatası düzeltme kodunuz olduğunu varsayalım , tek qubit hatalarına karşı bir qubit kodlama. Alice'e qubits ve Bob'a qubits verdiğinizi varsayalım : Alice orijinal kodlanmış durumu kurtarabilmelidir. Eğer , sonra , Bob gerektiğini böylece de orijinal kodlanmış halini tekrar elde edebilmek - böylece Alice'in devletin bir klon elde. Bu, Klonlama Yok Teoremi tarafından göz ardı edildiğinden, bunun yerine sahip olmamız gerekir .$n \geqslant 2$$n-2$$2$$n<5$$2 \geqslant n-2$n ⩾ 5$n \geqslant 5$

Silme hatalarını düzeltme hakkında

* Bunun için bulduğum en eski referans

[1] Grassl, Beth ve Pellizzari.
      Quantum Erasure Channel kodları .
      Phys. Rev. A 56 ( s.33-38 ), 1997.
      [ arXiv: quant-ph / 9610042 ]

- Knill-Laflamme koşullarının [ arXiv: quant-ph / 9604034 ] ' de açıklanmasından çok sonra değil ve bu nedenle kod mesafesi ve silme hataları arasındaki bağlantının orijinal kanıtı. Ana hat aşağıdaki gibidir ve mesafesi derinin hata düzeltme kodlarına uygulanır (ve genelleştirilmiş Pauli operatörlerini kullanarak kübitler yerine herhangi bir boyuttaki quaditlere eşit derecede geçerlidir).$d$

• kübitlerinin kaybı , tamamen depolarize edici kanala tabi kübitler tarafından modellenebilir, bu da kubitlerin tekdüze rastgele Pauli hatalarına maruz kalmasıyla modellenebilir.$d-1$

• Eğer bu kubitlerinin yerleri bilinmiyorsa, bu ölümcül olurdu. Bununla birlikte, konumları bilindiği gibi, kubitlerindeki herhangi bir çift Pauli hatası , Knill-Laflamme koşullarına hitap ederek birbirinden ayırt edilebilir.$d-1$$d-1$

• Bu nedenle, silinen kubitleri maksimum karışık durumda kubitlerle değiştirerek ve bu kubitlerinde Pauli hatalarını test ederek (rastgele Pauli hatalarını düzeltmek için kullanacağınızdan daha farklı bir düzeltme prosedürü gerektirerek), orijinal durum.$d-1$

Kolayca kanıtlayabileceğimiz şey, daha küçük dejenere olmayan bir kodun olmamasıdır .

Dejenere olmayan bir kodda, kübitin 2 mantıksal durumuna sahip olmanız ve her bir mantıksal durumu eşlemek için olası her hata için ayrı bir duruma sahip olmanız gerekir. Diyelim ki iki mantıksal durum olan ve ile 5 qubit kodunuz var . Olası tek qubit hataları kümesi ve tüm durumların olduğu anlamına gelir dikey durumlarla .$|0_L\rangle$$|1_L\rangle$$X_1,X_2,\ldots X_5,Y_1,Y_2,\ldots,Y_5,Z_1,Z_2,\ldots,Z_5$

$$|0_L\rangle,|1_L\rangle,X_1|0_L\rangle,X_1|1_L\rangle,X_2|0_L\rangle,\ldots$$

Bu argümanı genel olarak uygularsak, farklı duruma ihtiyacımız olduğunu gösterir . Ancak, kübit için, maksimum ayrı durum sayısı . Bu nedenle, dejenere olmayan bir hata için doğru mesafe 3 kodu (yani en az bir hata için düzeltme) veya daha fazlası için Buna Kuantum Hamming Bağlama denir. Bunun tüm için doğru olup olmadığını kolayca kontrol edebilirsiniz , ancak ise doğru değil . Gerçekten de, için eşitsizlik bir eşitliktir ve sonuç olarak buna karşılık gelen 5-qubit kodunu mükemmel kod olarak adlandırıyoruz.

$$2+2\times(3n)$$ $n$$2^n$ $$2^n\geq 2(3n+1).$$ $n\geq 5$$n<5$$n=5$

Diğer cevabın bir tamamlayıcısı olarak, kuantum dejenere olmayan hata düzeltme kodları için genel kuantum Hamming'i ekleyeceğim. Bu tür bir bağlantının matematiksel formülasyonu

$$\begin{equation} 2^{n-k}\geq\sum_{j=0}^t\pmatrix{n\\j}3^j, \end{equation}$$ burada$n$ , kod sözcüklerini oluşturan kubit sayısını belirtir,$k$ kodlanan bilgi kübitlerinin sayısıdır (bu nedenle de ayrışmadan korunur) ve$t$ ,kod tarafından düzeltilen$t$ qubit hatalarınınsayısıdır. Olarak$t$ ile mesafe ile ilgilidir$t = \lfloor\frac{d-1}{2}\rfloor$, o zaman bu tür dejenere olmayan kuantum kodu bir$[[n,k,d]]$kuantum hata düzeltme kodu olacaktır. Bu bağ,$2^n$boyutlu Hilbert boşluğunun2n-kolarak bölünmesiiçin küre paketleme benzeri bir argüman kullanılarak elde edilir.$2^{n-k}$her biri ölçülen sendrom tarafından saptırılan boşluklar ve bu nedenle sendromların her birine bir hata atanır ve iyileşme işlemi, bu tür ölçülen sendromla ilişkili hatayı tersine çevirerek yapılır. Bu nedenle, dejenere olmayan bir kuantum koduyla düzeltilen toplam hataların sayısı, sendrom ölçümü ile bölüm sayısına eşit veya daha az olmalıdır.

Bununla birlikte, dejenerasyon, gönderilen kod sözcüklerini etkileyebilecek hatalar arasında denklik sınıfları olduğu gerçeğini ima eden kuantum hata düzeltme kodlarının bir özelliğidir. Bu, aynı sendromu paylaşırken iletilen kod sözcükleri üzerindeki etkisi aynı olan hatalar olduğu anlamına gelir. Bu, bu dejenere hata sınıflarının aynı kurtarma işlemi ile düzeltildiğini ve böylece beklenen daha fazla hatanın düzeltilebileceğini gösterir. Bu nedenle, bölümlerden daha fazla hata bu şekilde düzeltilebileceğinden, kuantum Hamming sınırının bu dejenere hata düzeltme kodları için geçerli olup olmadığı bilinmemektedir. Hamming bağlı kuantum ihlali hakkında bilgi için lütfen bu soruya bakın .

En erken referansa kısa bir yorum eklemek istedim. Bunun Bölüm 5.2'de daha önce gösterildiğine inanıyorum.

A Theory of Quantum Error-Correcting Codes
Emanuel Knill, Raymond Laflamme 
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9604034

burada belirli sonuç:

Teorem 5.1. Bir $(2^r,k)$ $e$ -hata düzeltme uygun olmalıdır kuantum kodu $r \geqslant 4e + \lceil \log k \rceil$ .

Burada bir $(N,K)$ kodu, $K$ boyutlu bir altuzayın $N$ boyutlu bir sisteme gömülmesidir ; sistem kubitlerin tensör ürünü olarak ayrışırsa ve kod e ağırlık hatalarını düzeltebiliyorsa bir $e$ -hata düzeltme kodudur . Özellikle, bir ( 2 n , 2 k ) e -hata düzeltici kod şimdi [$e$$(2^n, 2^k)$ $e$$[\![n,k,2e\:\!{+}1]\!]$ kod. Teorem 5.1 daha sonra$k \geqslant 1$ ve tek bir tam sayı$d \geqslant 3$ bir$[\![n,k,d]\!]$ kod n'yi sağlamalıdır

$$\begin{aligned} n \;&\geqslant\; 4\bigl\lceil\tfrac{d-1}{2}\bigr\rceil + \lceil \log 2^k \rceil \\[1ex]&\geqslant\; \bigl\lceil 4 \cdot \tfrac{d-1}{2} \bigr\rceil + \lceil k \rceil \\[1ex]&=\; 2d - 2 + k \;\geqslant\; 6 - 2 + 1 \;=\; 5. \end{aligned}$$

( Not : Buradaki tarihlerle ilgili bir tuhaflık vardır: yukarıdaki makalenin arxiv sunumu, 1996 yılının Ekim ayında sunulan Grassl, Beth ve Pellizzari belgesinden birkaç ay önce Nisan 1996'dır. Ancak, pdf eyaletlerinde başlığın altındaki tarih bir yıl önce, Nisan 1995.)

Alternatif bir kanıt olarak, sadece Mac-Williams Kimliklerini karşılayan bir ağırlık dağılımı için çözmenin de yeterli olduğunu hayal edebildim (ancak henüz test etmedim). Böyle bir strateji gerçekten kullanılıyor

Quantum MacWilliams Identities
Peter Shor, Raymond Laflamme
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9610040

herhangi bir hatayı düzeltebilen beş kubit üzerinde dejenere kod olmadığını gösterir.