Tamamen dönel en küçük kareler eşleşir

Herkes aşağıdaki en küçük kareler sorunu için bir yöntem önerebilir:

bulmak o en aza indirir: , bir bütün olan (rotasyon) matris. $R \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ $\sum\limits_{i=0}^N (Rx_i - b_i)^2 \rightarrow \min$ $R$

Ben en aza indirerek, bir yaklaşık çözüm alabilir $\sum\limits_{i=0}^N (Ax_i - b_i)^2 \rightarrow \min$ (keyfi $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ ), alma matrisi $A$ ve:

SVD hesaplaması: $A = U \Sigma V^T$ , düşüyor $\Sigma$ ve yaklaşık $R \approx U V^T$
kutupsal ayrışmanın hesaplanması: $A = U P$ , sadece ölçek simetrik (ve benim durumumda pozitif kesin) bırakarak $P$ ve yaklaşık $R \approx U$

QR ayrışmasını da kullanabilirim, ancak izometrik olmazdı (koordinat sisteminin seçimine bağlı olacaktır).

Herkes bunu yapmanın bir yolunu biliyor mu, en azından yaklaşık olarak, ancak yukarıdaki iki yöntemden daha iyi bir yaklaşımla?

linear-algebra least-squares svd

— Sergiy Migdalskiy
kaynak

Kabsch'nin algoritmasını benzer bir problem için kullandım, ki bu en.wikipedia.org/wiki/Kabsch_algorithm'de bahsettiğiniz SVD yöntemi, eğer yanlış değilsem svd yöntemi denklemi en aza indirir, ne demek istediğinden emin değilim daha iyi 'yöntemi?

— isti_spl

OMG Aynı cevabı IRL aldım. Teşekkürler! Görünüşe göre düşürmek , negatif olmadığı sürece işe , bu durumda optimal döndürme bir yansıma içerir (ve herhangi bir döndürme eşit derecede kötüdür). Bu teknik olarak soruyu cevaplıyor, ancak SVD hesaplamaktan daha ucuz bir yöntem bilen var mı? Bu bir 3x3 SVD, ama birçoğunu yapmam gerekiyor (bu FEM simülasyonu için ve sorun her FE için hesaplanıyor) Ayrıca, sorun görünüşe göre Wahba'nın problemi olarak adlandırılıyor ve görünüşte havacılıkta bir zanaat belirlemek için havacılıkta görünüyor oryantasyon.

Σ

$\Sigma$

d e t (U V^{T})

$det(UV^T)$

— Sergiy Migdalskiy

Bu ilgili sorunları gördüm: scicomp.stackexchange.com/questions/7552/…

— isti_spl

ve bu: dsp.stackexchange.com/questions/1911/…

— isti_spl

@isti_spl: Yorumunuzu bir cevaba taşıyabilir misiniz?

— Geoff Oxberry

Sorun Wahba'nın problemi , bunun için bir algoritma Kabsch algoritması ve daha sonra daha popüler olan Davenport q yöntemi olarak adlandırılıyor . Görünüşe göre zanaat yönünü belirlemek için havacılıkta kullanılmış ve incelenmiştir. Orada değerlendirmeleri bir sürü yöntemleri hakkında.

En iyi uyumun yansıma içerebileceğine dikkat edin.

Kabsch yöntemi değerlerini hesaplar 3x3 kovaryans matrisi SVD ve damlalar (genellikle son sütunu ortadan telafi edilir bir yansıma, modulo terimi SVD olarak). Diğer sayıda boyuta genelleme yapmak çok basittir. $\Sigma$ $U$

Davenport q yöntemi genellikle ilk pratik algoritma olarak lanse edilir, belki birisi neden yorum yapabilir. Ayrıca bir 3x3 kovaryans matrisi oluşturur, ancak daha sonra bir kuaterniyonun fonksiyonu olarak dönme matrisini parametreler ve problem simetrik bir 4x4 matrisinin max-özdeğer özvektörünü hesaplama problemi haline gelir.

En popüler sayısal uygulamalara (bazıları) QUEST ve FOMA denir . Bu yöntemler genellikle karakteristik polinomu (çeyrek) yazarak ve optimize ederek ve analitik olarak (oldukça ilgili hesaplamalar, Kardano formüllerinden geçerek) veya Newton iterasyonuyla maksimum öz değerin hesaplanması temasındaki bir varyasyondur.

Schuster ayrıca bazı yinelemeli algoritma varyantlarını geliştirdi ve analiz etti.

— Sergiy Migdalskiy
kaynak

Havacılık topluluğundaki bazı tarihler için, Markley'nin Humble Problems'i okuyun .

— Damien