Sonlu Elemanlar Yöntemi - Genişletilmiş Sonlu Elemanlar Yöntemi (FEM ve XFEM)

FEM ve XFEM arasındaki temel farklar nelerdir? Ne zaman FEM'in XFEM intead'ini kullanmamalıyız? Başka bir deyişle, yeni bir sorunla karşılaştığımda, bunlardan hangisini kullanmayı nasıl bilebilirim?

— Anh-Thi DINH
kaynak

Çoğu zaman XFEM ile karşılaştığımda, katı mekanikte çatlak ilerlemesi ve kırılması ile ilgili süreksizliklerle uğraşmaktı. Gerçekten bu bir uygulama dışında kullanılan görmedim.

— Paul

Aslında hala çözmek için XFEM kullanan başka birçok alan var. Bu yüzden, bir sorunu çözmeye başladığımda bu yöntemi tanımanın yolunu bilmem gerekiyor.

— Anh-Thi DINH

Yanıtlar:

Sonlu Elemanlar Yöntemi (FEM), aslında FEM olan ama öyle görünmüyormuş gibi pek çok başka yöntem ve yönteme ilham veren ana yöntemdir.

Sonlu elemanlar yönteminde, çözeltinin bir vektör ile temsil edilebilmesi için yaklaşık bir boşluk sağlamak üzere "şekil fonksiyonları" kullanılır. Klasik FEM'de bu şekil fonksiyonları polinomlardır.

Genişletilmiş Sonlu Elemanlar Metodunda (XFEM), polinom şekli fonksiyonlarına ek olarak çözeltiyi yaklaşık olarak belirlemek için ek "zenginleştirme" fonksiyonları kullanılır. Bu zenginleştirme fonksiyonları, çözeltinin takip ettiği bilinen özelliklere sahip olacak şekilde seçilir.

En belirgin XFEM zenginleştirme fonksiyonları, çözelti gradyanındaki tekillikleri (yani katı mekanik problemleri için gerilmedeki tekillikliği) temsil etmek için keskin köşelerde çatlaklara sokulan güç işlevleridir. XFEM, diğer zenginleştirme işlevleri ve diğer çözüm alanları (özellikle ısı transferi) için kullanılabilir, ancak ad, kırık analizi ile eşanlamlıdır.

Çeşitli yöntemler arasındaki ayrım - bu XFEM mi, değil mi? Vb. - zor ve ince ve önemsizdir.

Hangisinin kullanılacağı konusunda, XFEM çok az pratik kullanım görür. Gerçek sonlu eleman kodlarında, özellikle Abaqus'ta bir avuç uygulama var, ancak yaygın kabul görmediler.

Neredeyse tüm pratik problemler için klasik FEM kullanılacaktır. Çoğu kırık analizi problemi için, klasik FEM yine de, çatlak ucu bölgesinde uygun ağ inceltme ve / veya p-iyileştirme ile birlikte kullanılabilir. Diğer, daha az titiz olan kırık modelleri de kullanılabilir.

— mikrofon
kaynak

Bu (mükemmel) cevaptan uzaklaşmak istemeden, reentrant köşelerinde çözelti bileşenlerini temsil eden tekil fonksiyonlar aslında

r^{α}

$r^{\alpha}$ nerede

r

$r$ köşeye olan uzaklık,

0 < α < 1

$0<\alpha<1$ yer değiştirme için (çözelti) ve

- 1 < α < 0

$-1<\alpha<0$ stres için (türevi).

— Wolfgang Bangerth

@ WolfgangBangerth, Teşekkürler! Cevabımı, kesin olarak kalmasına rağmen, ilk etapta koymak istediğim şey olan 'güç fonksiyonları' demek için düzenledim. Neredeyse daha net bir resim çizmek için sqrt (r) (kapalı bir çatlak için) koydum, ancak dikkat dağıtıcı olup olmadığından emin değildim. Biliyorum, ciddi XFEM uygulaması hakkında bir ton daha fazla ayrıntı var (bazıları okudum ve diğerleri değil).

— Mike

@Mike: daha az ilgili bir soru, P1-kabarcık FEM ve XFEM arasındaki farkın ne olduğudur? Bana gösterebilir misin?

— Anh-Thi DINH

@PoBo, Çok az benzerlik var. Her iki yöntem de ağ değiştirmeden şekil işlevleri eklemeyi içerir ve her ikisi de tüm FEM ailesi için ortak olan aynı temel matematiğe dayanır, ancak benzerlik burada sona erer.

— Mike

P sürümü veya P1 kabarcık şekli işlevi yaklaşımını iyi bilmiyorsanız, başka bir üst düzey soru veya üzerinde bulunan kitaplardan birini almayı deneyebilirsiniz (Szabo ve Babuska'nın genel olarak oldukça titizdir, ancak p sürümünü kapsayan diğerlerinden çok daha az.)

— Mike

Hem Ahmet'in cevabı ve Jed'in bir uygulamanın en önemli alan, alan adınıza içinde bir yüzey üzerinde bir çatlak, yani bir yer değiştirme süreksizliği var 3D Kırılma Mekaniği olduğunu işaret de XFEM / FEM ikilemine ve doğru olarak tanımlamaktadır.

Klasik FEM'de çatlakların iki nedenden dolayı modellenmesi zordur:

Ağın çatlak boyunca uyumlu olması gerekir: daha kesin olarak çatlak FE'lerin bir alt alanının sınırında olmalıdır. Çatlak olamaz (geçmesine izin veren) içinde bir sonlu eleman yerleştirin.
Çatlak ucundaki tekil gerilme alanı, özel elemanların ve / veya ağ oluşturma tekniklerinin (çeyrek nokta elemanları, odaklanmış ağ) iyi doğrulukla modellenmesini gerektirir.

Kırılma mekaniğinde mühendislik açısından iki ana problem türü vardır:

Stres yoğunluk faktörü hesabı,
çatlak yayılma analizi, örneğin yorgunluk veya hasar tolerans analizinde.

Sorun klasik FEM ilk türü için yeterli fazla ve bir standart mühendislik aracı. (Neyse ki, çatlak ucunun yakınındaki sayısal hatalara duyarlı olmayan stres yoğunluğu faktörlerini değerlendirmek için enerji yöntemleri vardır.)

Çatlak yayılma analizi tamamen farklı bir hikaye: çoğu durumda çatlak yolunu önceden bilmiyorsunuz ve bu nedenle sık sık yeniden düzeltme yapmak gerekiyor. XFEM'in en büyük vaadi, sabit bir FEM ağı içinde çatlak yayılmasına izin vermektir, çatlak sadece alt alanlar arasındaki sınırda değil , FE'nin kendi içinde de yolunu keser .

XFEM, hala standart bir mühendislik aracı olmaktan uzak, nispeten yeni bir tekniktir. OP sorusuna cevabım, en azından katı mekanik ve mühendislik analizinde, XFEM'in, çatlak yolunun önceden tahmin edilemediği karmaşık 3D geometriler için çatlak ve hasar yayılım analizinde çok dar ve özel bir uygulama alanına sahip olması .

Yine de, kırılma mekaniğinin mühendislikte çok önemli bir alan olduğunu vurgulayayım: örneğin günümüz aiplanları da güvenlidir, çünkü bakım aralıkları arasındaki hasarı ve çatlak yayılımını sayısal olarak tahmin etmek mümkündür. XFEM veya benzeri yeni teknikler, yakın gelecekte önemli araçlar haline gelecektir.

— Stefano M
kaynak

kırılma mekaniğinde XFEM'in önemi hepiniz tarafından gösterilmiştir, ancak klasik FEM yerine XFEM kullanmanız gereken başka alanlar var mı? Örneğin, biyofilm büyümesinde, substrattaki biyofilmin arayüzü zamanla değişir. Sınır değiştirilebilir (hareketli sınır). Klasik FEM kullanırsak, kafes her zaman adımında oluşturulmalıdır, doğru mu? Bu gerçekten iyi değil, özellikle 3D durumda. Veya farklı konsantrasyon gradyanlarına sahip 2 sıvı aşaması düşünürsek, XFEM'i de mi kullanmanız gerekiyor gibi görünüyor?

— Anh-Thi DINH

Saf Lagrange yaklaşımlarıyla (sık sık yeniden şekillendirme nedeniyle) zor olan serbest yüzeylere veya hareketli sınırlara sahip olduğunuz birçok sorun vardır. XFEM daha çok etki alanları içindeki süreksizliklerin modellenmesiyle ilgilidir. Hareket eden bir sınırı temsil etmek için süreksizliği kullanan bağlama prosedürlerini biliyorum ... ama bu alanlarda uzman değilim.

— Stefano M

daha az ilgili bir soru da P1-kabarcık FEM ve XFEM arasındaki farkın ne olduğudur? Bana gösterebilir misin?

— Anh-Thi DINH

Yeni bir soru açmanızı öneririm. Kısaca P1-kabarcık / P1 belirli bir sonlu elementtir (Stokes denkleminin çözümü için).

— Stefano M

FEM, XFEM'in bir alt kümesidir. XFEM, süreksizlikler (kırık gibi) ile ilgili problemleri ele almak için sonlu eleman uzaylarını zenginleştirmeye yönelik bir metodolojidir. Klasik FEM ile, benzer doğruluk elde etmek tipik olarak karmaşık konformal örgü ve uyarlanabilir incelik gerektirir, burada XFEM gibi tek bir örgü ile yapar, bu geometrik karmaşıklığı elemanlara taşır (XFEM, özellikle 3D'de uygulanması çok karmaşıktır). Bu arada, XFEM , doğrudan çözücüler veya çok özel çoklu- enerji yöntemleri gerektiren aşırı derecede koşulsuz matrislerle sonuçlanır ( örneğin, Gerstenberger ve Tuminaro (2012) ).

— Jed Kahve
kaynak

Karmaşıklığı ağdan şekil işlevlerine taşıma çabası sonunda gerçekten işe yarıyor mu? Her ikisi de aynı şekilde karmaşık görünüyor.

— shuhalo

Hesaplamalı bilimde sıklıkla olduğu gibi, kime sorduğunuza ve hangi sorunu çözdüğünüze bağlıdır. Birçok XFEM uygulayıcısı, elemanlar arası süreksizliklere uyarlanmış bir tane yerine ham bir kareleme kullanarak punt yapıyor.

— Jed Brown