Bir matrisin yarı yarıya pozitif olup olmadığını test etme

Pozitif yarı tanım için kontrol etmem gereken simetrik matrislerin bir listesine ${\cal L}$sahibim (yani özdeğerleri negatif değil.)

Yukarıdaki yorum, ilgili özdeğerleri hesaplayarak ve negatif olup olmadıklarını kontrol ederek (belki de yuvarlama hatalarına dikkat etmek zorunda kalarak) bunu yapabileceğini ima eder.

Özdeğerleri hesaplamak senaryomda oldukça pahalıdır, ancak kullandığım kütüphanenin pozitif doğruluk için oldukça hızlı bir teste sahip olduğunu fark ettim (yani, bir matrisin özdeğerleri kesinlikle pozitifse).

Dolayısıyla fikir bir matris verilen olurdu $B \in {\cal L}$ ise, bir test $B + \epsilon I$ kesin pozitiftir. Değilse, $B$ pozitif yarı-kesin değildir, aksi takdirde gerçekten pozitif yarı-kesin olduğundan emin olmak için özdeğerlerini hesaplayabilir $B$.

Şimdi sorum şu:

Pozitif kesinlik için etkili bir test verilmesi koşuluyla, bir matrisin yarı yarı-pozitif olup olmadığını test etmenin daha doğrudan ve etkili bir yolu var mı?

"Pozitif semidefinit" veya "pozitif kesin" çalışma tanımınız nedir? Kayan nokta aritmetiğinde bunun için bir tür tolerans belirtmeniz gerekir.

$A$$\lambda=-1.0$$10^{30}$$\lambda=-1.0$

λ $-\epsilon \left| \lambda_{\max} \right|$$\lambda_{\max}$

Ne yazık ki, bir matrisin tüm özdeğerlerini hesaplamak oldukça zaman alıcıdır. Yaygın olarak kullanılan bir başka yaklaşım, eğer matrisin kayan nokta aritmetiğinde bir Cholesky çarpanlarına ayırması durumunda simetrik bir matrisin pozitif olarak tanımlandığıdır. Cholesky çarpanlarına ayırma işlemi, özdeğerleri hesaplamaktan daha hızlı bir büyüklük sırasıdır. Matrise kimliğin küçük bir katını ekleyerek bunu pozitif yarı yarıya genişletebilirsiniz. Yine, ölçekleme sorunları var. Hızlı bir yaklaşım, çapraz elementlerin 1.0 olması ve Cholesky çarpanlarına ayırmadan önce diyagonale eklemesi için matrisin simetrik bir ölçeklendirmesidir . $\epsilon$

Buna dikkat etmelisiniz, çünkü yaklaşımla ilgili bazı sorunlar var. Örneğin, ve kayan nokta Cholesky faktörleştirmeleri olduğu, ancak Cholesky çarpanlarına sahip olmadığı anlamında pozitif olduğu durumlar vardır . Böylece "kayan nokta Cholesky faktörleştirilebilir pozitif belirli matrisler" kümesi dışbükey değildir! $A$$B$$(A+B)/2$

• Kerr, TH, “ Matrislerin Doğruluğu Test Etme ve İhtiyaca Yönelik Uygulama Örnekleri ,” AIAA Rehberlik , Kontrol ve Dinamik Dergisi , Vol. 5, s. 503-506, Eylül-Ekim, 1987.

• Kerr, TH, “ Pozitif Semidefinite Matrisleri için Testin Yanlışlıklarına Dair ,” AIAA Rehberlik, Kontrol ve Dinamik Dergisi , Cilt. 3, sayfa 571-572, Mayıs-Haziran. 1990. (karşı örnekleri kullanarak 1970 ve 1980'lerde Navigasyon ve Hedef Takibi yazılımında olduğu gibi)

• Kerr, TH, “ Matris Pozitif Kesinlik / Yarı Kesintiliğinin Hesaplamalı Testinde Yanlışlar ,” Havacılık ve Elektronik Sistemlerde IEEE İşlemleri , Cilt. 26, No. 2, s. 415-421, Mart 1990. [Yazarın 1970'lerin sonlarında ve 1980'lerin başında problemleri belirtmek için karşı örnekleri kullanarak rutin olarak ABD Donanması denizaltı navigasyonu ve sonobuoy yazılımında bulunduğu tespit edilen hatalı algoritmaları listeler. ]

@Brian Borchers'ın önerisi için Python, Cholesky ayrışmasını deneyin:

from sksparse.cholmod import cholesky, CholmodNotPositiveDefiniteError
    # https://scikit-sparse.readthedocs.io/en/latest/cholmod.html

def testposdef( A, beta=1e-6, pr="" ):
    """ try cholesky( a scipy.sparse matrix  + beta I )

    Why A + beta I, beta say 1e-6 ?
    If A has tiny eigenvalues, 0 to within machine precision,
    about half of these "zeros" may be negative -- tough on solvers.
    Also the condition number improves to ~ rho(A) / beta.
    """
    try:
        solve = cholesky( A, beta=beta )  # A + beta I
        if pr:
            print( "%s + %g I is positive-definite" % (pr, beta ))
        return solve  # x = solve( b )
    except CholmodNotPositiveDefiniteError:
        if pr:
            print( "%s + %g I is not positive-definite" % (pr, beta ))
        return False