Sonlu fark yöntemlerinde sınır koşulları nasıl uygulanır?

Yüksek sipariş merkezi farkı yaklaşımını kullanmak istediğimde bir sorunum var:

(\frac{- u_{i + 2, j} + 16 u_{i + 1, j} - 30 u_{i, j} + 16 u_{i - 1, j} - u_{i - 2, j}}{12})

$\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right)$

Poisson denklemi için

sınır koşullarının bulunduğu kare bir alanda:

(u_{x x} + u_{y y} = 0)

$(u_{xx}+u_{yy}=0)$

u (0, y) = u (x, 0) = u (x, 1) = 0, u (1, y) = \sin π y

$u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y$

Δ x = Δ y = 0.1

$\Delta{x}=\Delta{y}=0.1$

Alanın iç noktalarının değerini elde etmek istediğimde, bu yaklaşımı göz önünde bulundurarak bazı noktalar sınırın dış noktalarına bağlıdır. Örneğin, , değerinin sınırların dışında olması gerekir. Bu durumda lütfen biri bana yardım edebilir mi? $u_{1,1}$ $u_{i-2,j}=u_{-1,0}$

pde finite-difference

— Liona
kaynak

Dirichlet sınır koşullarını kullandığınızı düşünüyorum, değil mi?

— Paul

Lütfen dayatmak istediğiniz sınır koşullarını belirtin.

— David Ketcheson

Belki de anahtar, bu değerleri içeren kısıtlamaları elde etmek için sınır koşullarını kullanmaktır. Hiç bir PDE'yi sayısal olarak çözmeye çalışmadığım için genişleyemiyorum, ancak bu fikir ODE'ler için çalışıyor. Bunu onaylayan var mı?

— astrojuanlu

Üst düzey yöntemlerle, hayalet hücreleri bu şekilde doldurarak yöntemin stabilitesini sağlamak zor olabilir. Bununla birlikte, eliptik problemler tipik olarak deneyimlerimden daha bağışlayıcıdır, bu yüzden ondan kurtulabilirsiniz.

— Jeremy Kozdon

Liona, sorunuzu düzenleyebilir ve sınır koşullarını buraya ekleyebilirsiniz, bu da onları yorumlara koymaktan daha iyidir.

— David Ketcheson

Yanıtlar:

Parçalara ayırma (SBP) sonlu fark yöntemlerine bakmak isteyebilirsiniz. Ken Mattsson bu yöntemler üzerinde çok çalışmıştır. Başlangıç iyi bir yer olduğunu burada (sabit katsayılar) ve burada (değişken katsayılar).

Temel olarak, bu yöntemlerin çalışma şekli, iç kısımdaki standart merkezi yöntemlerdir ve sınırın yakınındaki bir yüze geçiştir. SBP teknolojisinin önemli bir parçası, tek taraflıya geçişin, zamana bağlı problemler için yöntemin stabilitesinin, sınır koşullarının dahil edilmesinden sonra bile kanıtlanabileceği şekildedir. (Bu mümkündür, çünkü operatörler parçalara ayrık bir şekilde entegrasyonu taklit eden bir normu "tanımlarlar".

Poisson denklemine baktığınızı söylüyorsunuz, SBP operatörleri ve eliptik denklemlerle sınır koşullarının nasıl istikrarlı bir şekilde dahil edildiğinden tam olarak emin değilim. Eliptik problemler için bunlarla oynayan bir meslektaşım var ve bunun ne yaptığınızın gerçekten önemli olmadığını belirtiyor gibi görünüyor.

— Jeremy Kozdon
kaynak

Sınır noktalarının yakınında yüksek dereceli bir doğruluk elde etmek için kullanabileceğiniz başka şablonlar da vardır. Mevcut şablonunuz şu şekildedir:

$Au_{i+2,j} + Bu_{i+1,j} + Cu_{i,j}+Du_{i-1,j}+Eu_{i-2,j}$

Ancak, sınırın yakınında şu şekilde farklı bir şablon da kullanabilirsiniz:

$Au_{i+3,j} + Bu_{i+2,j}+Cu_{i+1,j}+Du_{i,j} +Eu_{i-1,j}$

$u_{1,1}$

Benzer şekilde, zıt sınırdaki değeri benzer bir formülle yaklaşık olarak tahmin edebilirsiniz.

— Paul
kaynak

u_{1, 1}

$u_{1,1}$

Katsayıları nasıl elde edebilirim?

— liona

Sonlu fark formüllerinin nasıl elde edileceğini anlamak için iyi bir referans Leveque'nin kitabının 1. Bölümüdür: faculty.washington.edu/rjl/fdmbook . Taylor serisine ve biraz cebire eşittir.

— David Ketcheson

O (h^{2})

$O(h^2)$

O (h^{2})

$O(h^2)$

A U (x + h)

$AU(x+h)$

B U (x)

$BU(x)$

C U (x - h)

$CU(x-h)$

D U (x - 2 h)

$DU(x-2h)$

E U (x - 3 h)

$EU(x-3h)$

U_{x x}

$U_{xx}$

-4

lütfen adımı david Edwards jr. altında araştırma portföyünde bulabileceğiniz fdm makaleme bakın. sorularınız varsa size yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım.

david

— david
kaynak

Sadece insanların başka bir yerde arama yapmaları için talimat vermek yararlı bir cevap değildir. En azından burada cevabın bir özetini sunmalı ve daha fazla ayrıntı için bir bağlantı sağlamalısınız. Ayrıca, birçoğumuz ResearchGate'in çalışma biçimine katılmıyor ve bu nedenle bu siteyle olan tüm etkileşimlerden kaçınıyor ve makalenizi önerilen yöntemle görmeyi imkansız hale getiriyor.

— Doug Lipinski

Lütfen soruyu cevaplamak için gerekli olduğunu düşündüğünüz arka planın bir özetini içerecek şekilde yanıtınızı gözden geçirin. Cevaplar nispeten bağımsızdır; bir okuyucunun makalesini arayacak şekilde yönlendirilmesi bağımsız değildir ve içeriğinin bir özetini vermekten çok daha az yardımcı olur.

— Geoff Oxberry