Hangi yinelemeli doğrusal çözücüler pozitif semidefinit matrisleri için yakınsar?

Klasik lineer çözücülerden hangisinin (örneğin Gauss-Seidel, Jacobi, SOR) pozitif yarı tanımlanmış olduğu ve tabii ki olduğu problemi için yakınlaşmayı garanti ettiğini bilmek istiyorum. $Ax=b$ $A$ $b \in im(A)$

( notu yarı kesin ve kesin değildir) $A$

— olamundo
kaynak

Şunu mu demek istediniz: yarı tanımlı pozitif matrisler?

— meawoppl

Lineer sistemin bu matrisle çözülmesinin faydası nedir? Yanılmıyorsam, pozitif semidefinite matrisiniz tekil değilse, o zaman pozitiftir.

— faleichik

Evet eminim. Gerçek kanıt için olduğu gibi benim bellek yenilemek zorunda, ama söylediklerinize göre - hesaplaması payda sıfır ise, bu sıfır anlamına gelir, yani tüm "arama yönleri" A tekil değildir ve kalan kısım A aralığında değildir (ve bu da "optimal" çözümdür). Aslında , bu artık olmayacaktır çünkü artık ilk kez hemen önce sıfıra ulaşacaktır

α

$\alpha$

A P_{k}

$A P_k$

b \in s p a n (A)

$b \in span(A)$

A P_{k} = 0

$AP_k=0$

— olamundo

Set . Sonra . CG, tüm için nedeniyle . Başka bir deyişle, pozitif olarak tanımlayan asla bırakmazsınız .

x_{0} = b

$x_0=b$

A^{n} b \in I m (A)

$A^nb\in Im(A)$

x_{n}^{*} A x_{n} > 0

$x_n^\ast Ax_n> 0$

0 \neq x_{n} \in I m (A)

$0\ne x_n\in Im(A)$

I m (A)

$Im(A)$

A

$A$

— Deathbreath

@faleichik: kuantum mekaniğinde azaltılmış yoğunluk matrisleri birçok durumda pozitif yarı tanımlıdır.

— Deathbreath

Yanıtlar:

Konjugat gradyan algoritması yarı-yanlı problemler için çalışır ve minimal norm çözümü üretir.

— Arnold Neumaier
kaynak

Teşekkürler. "Arkaik" çözücüler hakkında herhangi bir fikir, örneğin SOR Gauss-Seidel vb.

— olamundo

Artık neredeyse hiç kullanılmıyorlar ve bunların nasıl davrandığını bilmiyorum.

— Arnold Neumaier

Açıklığa kavuşturmak için: CG kesinlikle yarı belirli matrisler için vanilya formunda çalışmaz; B'nin A imajında olması teoride işe yarayabilir; ancak bunun sayısal uygulamada iyi bitmesi pek olası değildir. Çok benzer krylov tabanlı MINRES burada çok daha iyi bir seçim. Ayrıca, bu "arkaik" çözücüler, bir örnek olarak, çoklu-ızgara tipi çözücülerde yaygın olarak kullanılmaktadır.

— Eelco Hoogendoorn

Gauss-Seidel'in görüntüsünde olduğu göz önüne alındığında, gereksinimlerinize uygun olduğunun bir kanıtı . $b$ $A$

Aynı şey Jacobi için de geçerli değil; Modern bilgisayar donanımında Gauss-Seidel ile uğraşmak isteyen bu yana ne yazık ki? Sorununuz çapraz baskın bloklara bölünebiliyorsa, şanslısınız demektir; Jacobi güncellemelerini bu bloklara artımlı Gauss-Seidel tarzında uygulayabilir ve bu tür yarı-kesin problemler için her ikisinden de en iyi şekilde yararlanabilirsiniz.

— Eelco Hoogendoorn
kaynak