Krylov tarafından hızlandırılmış Multigrid (MG'yi ön koşul olarak kullanma) nasıl motive edilir?

Multigrid (MG), bir başlangıç tahmini oluşturarak ve yakınsamaya kadar için aşağıdakini tekrarlayarak doğrusal bir sistemini çözmek için kullanılabilir :x 0 i = 0 , $Ax=b$$x_0$$i=0,1..$

1. Kalan$r_i = b-Ax_i$
2. Yaklaşık bir elde etmek için bir çoklu ağ işlemi uygulamak , burada . A e i = r $\Delta x_i \approx e_i$$Ae_i = r_i$
3. Güncelleme$x_{i+1} \gets x_i + \Delta x_i$

ızgara , üretmek için uygulanan bir düzleştirme, enterpolasyon, kısıtlama ve tam kaba ızgara çözme işlem . Bu tipik olarak bir V döngüsü veya bir W döngüsüdür. Bu doğrusal bir işlemdir, bu yüzden . Δ x i Δ x i = B r $r_i$$\Delta x_i$$\Delta x_i = B r_i$

Bu süreci önkoşullu Richardson yinelemesi olarak yorumlayabiliriz. Yani, güncelleme .$x_{i+1} \gets x_i + B r_i$

Richardson yinelemesi, diğer Krylov altuzay yöntemlerini önceden koşullandırmak için çok-devirli döngülerin kullanılmasını öneren prototip bir Krylov altuzay yöntemidir. Buna bazen bir Krylov yöntemiyle "hızlandırma" çoklugrid denir veya dönüşümlü olarak bir Krylov yöntemi için önkoşullama seçeneği olarak görülebilir.

Yukarıdaki algoritmayı genişletmenin başka bir yolu da Full Multigrid (FMG) kullanmaktır. Kısa bir açıklama için bu cevaba bakınız .

Krylov hızlandırılmış MG hangi durumlarda MG veya FMG'ye tercih edilir?

Bazı durumlarda, (F) MG optimal özelliklere sahip bir algoritma sağlar. Örneğin, uygun şekilde ayarlanmış FMG, az sayıda "çalışma ünitesinde" bazı eliptik problemleri çözebilir; burada bir çalışma ünitesi, problemin kendisini ifade etmek için gereken hesaplama çabası olarak tanımlanır - bu durumda artık En iyi ızgara üzerinde . Bu, o kadar etkili (dolayısıyla yenilmesi zor) bir algoritmadır ve gerçekçi fizik problemlerini ( HPGMG ) çözmek için bir süper bilgisayarın maksimum kapasitesini ölçmek için tasarlanmış bir HPC karşılaştırmasının temelini oluşturur . Böyle bir yöntem mevcutsa, elbette kullanılması tavsiye edilir.$b-Ax$

Bununla birlikte, birçok pratik durumda, optimal veya etkili bir çoklu-enerji yöntemi kullanılmaz. Bunun nedeni

• böyle bir yöntem verilen problem için bilinmiyor veya kullanılamıyor
• Düzleştiriciler ve intergrid operatörleri ders kitabı yakınsaması için yeterli değildir
• kaba ızgara çözücü hatalı

Bu durumlarda, çözelti, çoklu-çoklu çevrimde olması gerektiği gibi azaltılmayan bir hata ile bozulabilir. Bununla birlikte, bu hata düşük boyutlu bir alt boşlukta bulunuyorsa, bir Krylov yöntemi bu hatayı az sayıda yinelemede çözebilir ve bu nedenle kusurlu bir çoklu ızgara çözümünden sonra "temizleyebilir". Yani, birkaç dış özdeğeri varsa, bir Krylov yöntemi karşılık gelen öz-uzayları yakalayabilmelidir.$BA$

Bir suboptimal yöntem kullanma seçiminin, Krylov hızlandırmasının işe yaradığı noktaya kadar çok "daha ucuz" bir çoklu-enerji döngüsüyle sonuçlanabileceğini unutmayın. Yani, Krylov hızlandırmalı MG'nin MG'den daha iyi performans gösterebileceği sorunlar (ve hesaplama sistemleri) olabilir. Bunun somut bir örneğini bulmak isterim.

(Yukarıdaki @chris ve yukarıdakilerden bazılarını bir eğitimde geçen Matt Knepley sayesinde )