Özdeğer problemlerinde doğrulama

Formun bir problemiyle başlayalım

(L + k^{2}) u = 0

$(\mathcal{L} + k^2) u=0$

verilen bir dizi sınır koşulu ile ( Dirichlet , Neumann , Robin , Periyodik , Bloch-Periyodik ). Bu , bazı geometri ve sınır koşulları altında bazı operatör için özdeğerlerin ve özvektörlerin bulunmasına karşılık gelir . Örneğin akustik, elektromanyetizma, elastodinamik, kuantum mekaniğinde böyle bir problem elde edilebilir. $\mathcal{L}$

Birinin operatörün farklı yöntemler kullanarak ayrıştırabileceğini biliyorum, örneğin elde etmek için Sonlu Fark Yöntemleri

[A] {U} = k^{2} {U}

$[A]\{U\} = k^2 \{U\}$

veya kullanarak, Sonlu Elemanlar Yöntemleri

[K] {U} = k^{2} [M] {U} .

$[K]\{U\} = k^2 [M]\{U\} \enspace .$

Bir olayda bir alma özdeğer problemini ve genelleştirilmiş özdeğer problemini diğerinde. Sorunun ayrık versiyonunu elde ettikten sonra özdeğer problemi için bir çözücü kullanılır.

Bazı düşünceler

Üretilen Çözümler yöntemi bu durumda yararlı değildir, çünkü denklemi dengelemek için kaynak terimi yoktur.
ve matrislerinin kaynak terimi ile bir frekans alanı problemi kullanılarak iyi yakalandığını doğrulayabiliriz , örn. $[K]$ $[M]$

$[\nabla^{2} + ω^{2} / c^{2}] u (ω) = f (ω), \forall ω \in [ω_{min}, ω_{max}]$ $[\nabla^2 + \omega^2/c^2] u(\omega) = f(\omega) \enspace ,\quad \forall \omega \in [\omega_\min, \omega_\max]$
onun yerine

$[\nabla^{2} + k^{2}] u = 0 .$ $[\nabla^2 + k^2] u = 0 \enspace .$
Ancak bu, çözücü sorunlarını kontrol etmez.
Belki de FEM ve FDM gibi farklı yöntemler için çözümler karşılaştırılabilir.

Soru

Özdeğer problemleri için FEM ve FDM gibi sayısal yöntemler nedeniyle ayrıklaştırma şemaları için çözümleri (özdeğer-özvektör çiftleri) doğrulamanın yolu nedir?

— nicoguaro
kaynak

Sonuçlarınızı bilinen vakalar (kare, küp, daire, küre) için spektrumlarla karşılaştırabilir misiniz? Ayrıca kontrol edebileceğiniz uygun normlarda özvektörler ve özdeğerler için beklenen yakınsama oranları da vardır (bu oranlar frekansa bağlı olarak değişme eğilimindedir - bkz. Dergiler.cambridge.org/action/… )

— Jesse Chan

Evet, analitik çözümlerle karşılaştırabilirsiniz. Ancak normalde gerçekten basit durumlar için sağlanırlar. Soru, doğrulama işleminin nasıl yapılacağı ile ilgilidir. Eğer metoda benzer bir şey varsa üretilen çözümler. Veya bu yöntemi diğer problemler için analitik çözümlerle birleştirmeniz gerekiyorsa.

— nicoguaro

Bir boyutta, istenen ile başlıyorsanız ve , yi ayrıştırmayı deneyebilirsiniz , eğer böyle bir varsa ve ardından . Bu, kutunun pisliği 'in simetriler ve diğer özellikler, herhalde. Burada ve doğrusal olarak bağımsız olmalı ve aynı noktada yok olamazlar.

k, v

$k,v$

(L + k^{2}) v = w \neq 0

$(\mathcal{L}+k^2)v = w \neq0$

w = f v + g v^{'}

$w = fv+gv'$

f, g

$f,g$

L^{'} = L - f - g \partial

$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-f-g\partial$

L

$\mathcal{L}$

v

$v$

v^{'}

$v'$

— Kirill

@ JesseChan, önerilen okuma için teşekkürler. Biraz zamanımı aldı ama okudum. İstenen amaç için yeterli bilgi sağladıklarını sanmıyorum.

— nicoguaro

Seni doğru anladığımdan emin olmak istiyorum. Ayrık operatör için hesaplanan öz çiftler (matris veya matrisler) ile pürüzsüz operatör için karşılık gelen öz çift arasındaki mesafeyi nasıl tahmin edeceğinizi bilmek ister misiniz ? Ya da şimdi, ayrı bir özdeğer problemini çözdüğünüz doğruluğu nasıl tahmin edeceğinizi mi öğrenmek istiyorsunuz?

— Carl Christian

Bu sorunun eski olduğunu anlıyorum, ama sadece gördüm ve ilginç buldum. Geçmişte, bu sorunun yorumlarında, literatürde aşina olduğum biraz daha karmaşık vakalarla birlikte önerileri izledim (Orr - Sommerfeld her zaman kullanışlıdır).

Bununla birlikte, üretilen bir çözüm oluşturulurken ortaya çıkan homojen olmayan özdeğer problemleri hakkındaki bazı literatürün de farkındayım. Burada bu tür problemlerle ilgili bazı tartışmalar var: DOI: 10.1016 . Bu yazarlar, bu konuyu tamamen önlemek için şu anda anladığım gibi davranmayacağım, ancak çok yararlı olabilen Üretilmiş Çapraz Bölümler Yöntemi (MXS, sanırım) öneriyorlar.

— Spencer Bryngelson
kaynak

"Homojen olmayan özdeğer problemi" olarak önerdikleri şey, orijinal yazımda önerdiğim yaklaşım. Yine de Üretilen Çapraz Bölümler Yöntemini anlamaya çalışıyorum.

— nicoguaro

Sadece bu tür problemler için bazı literatürlerin var olduğunu öne sürerek, önerdiğiniz gibi bir çıkmaz olmayacağını anlıyorum: "Üretilmiş Çözümler, bu durumda denklemi dengelemek için bir kaynak terimi olmadığı için yararlı değildir."

— Spencer Bryngelson

Bu, yayınınızın bir eleştirisi değildir. Tam tersi! Sadece tartışmayı tanıtmak için referansı okuduktan sonra bulduğum şeyi yorumluyorum.

— nicoguaro

İkinci derece türev (ve basit alanlardaki Laplacian) için, ayrı özjen çiftleri (yani ayrıklaştırmadan sonra) için ifadeler mevcuttur. Örneğin, sonlu farklar için, öz çiftler burada listelenir .

Sonlu elemanlı ayrıklaştırma ile öz çiftler için ekspresyon benzer şekilde bulunabilir (P1 ve P2 ayrıklaştırma için).

— user7440
kaynak