Raviart-Thomas öğeleri referans meydanında

Raviart-Thomas (RT) elementinin nasıl çalıştığını öğrenmek istiyorum. Bu amaçla, temel fonksiyonların referans karede nasıl göründüğünü analitik olarak açıklamak istiyorum. Buradaki amaç onu kendim uygulamak değil, sadece öğeyi sezgisel bir şekilde kavramaktır.

Bu çalışmayı büyük ölçüde burada tartışılan üçgen unsurlardan temel alıyorum , belki de dörtgenlere genişletmek kendi başına bir hatadır.

Bununla birlikte, ilk RK elemanı RK0 için temel fonksiyonları tanımlayabilirim:

ϕ_{i} (x) = a + b x = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x \\ a_{2} + b_{2} y \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \mathbf{a} + \mathbf{b}\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x\\a_2 + b_2 y\end{pmatrix}$ için

i = 1, \dots, 4.

$i = 1,\dots,4.$

Üzerinde koşulların o şunlardır: $\mathbf{\phi}_i$

ϕ_{i} (x_{j}) \cdot n_{j} = δ_{i j}

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$

burada aşağıda gösterilen birim normaldir ve koordinatıdır. $\mathbf{n}_j$ $\mathbf{x}_j$

RT0

Bu referans karesi olduğundan her temel fonksiyon için bir denklem sistemine yol açar. İçin şudur: $[-1,1]\times[1,1]$ $\mathbf{\phi}_1$

(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ b_{1} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\\ b_1\\ b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$

vermek için çözülebilir:

ϕ_{1} (x) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + x \\ 0 \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_1(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + x\\ 0\end{pmatrix}$

Diğer temel fonksiyonlar da benzer şekilde bulunabilir.

Bunun doğru olduğu varsayılarak, bir sonraki adım RK1 için temel fonksiyonları bulmaktır. Burası kendimden biraz emin değilim. Yukarıdaki bağlantıya göre, ilgilendiğimiz alan:

P_{1} (K) + x P_{1} (K)

$P_1(K) + \mathbf{x}P_1(K)$

İçin bir baz olur $P_1$ $\{ 1, x, y\}$

Bu, RK1 temel işlevlerinin şu şekilde olması gerektiği anlamına geldiğini düşünüyorum:

ϕ_{i} (x) = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x + c_{1} y + d_{1} x^{2} + e_{1} x y \\ a_{2} + b_{2} x + c_{2} y + d_{2} x y + e_{2} y^{2} \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 y + d_1 x^2 + e_1 xy\\ a_2 + b_2 x + c_2 y + d_2 xy + e_2 y^2\end{pmatrix}$

Bu, her temel işlev için 10 bilinmeyen bırakır. RK0 davasıyla aynı koşulları uygularsak, yani:

ϕ_{i} (x_{j}) \cdot n_{j} = δ_{i j}

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$ ; burada , aşağıda gösterildiği gibi normal birimdir:

n_{j}

$\mathbf{n}_j$

RK1

bu bize 8 denklem verir. Sanırım diğer 2 bazı anlardan bulunabilir. Tam olarak nasıl olduğundan emin değilim. Yukarıdaki bağlantı için bir temele , ancak bunun ne anlama geldiğini anlamakta zorlanıyorum. Doğru yolda mıyım, yoksa burada bir şeyi tamamen mi kaçırdım? $[P_1]^2$

pde finite-element

— Lukas Bystricky
kaynak

Genel olarak, aynı polinom temelini tetrahedralden dörtlü öğelere aktaramazsınız. ^1. Özellikle, dörtgen elemanların tümü nokta yüzlü elemanları mümkün değildir tek boyutlu polinom tensör ürünleri ile iş etmektir.

Aslında dörtlü Raviart-Thomas unsurları var, ancak tanımları farklı. İki boyutta, polinom alan ile verilir Böylece için tipik bir polinom yazdığınız gibi olacaktır, ancak için Bu nedenle, ve genel olarak $RT_k$

P_{k + 1, k} \times P_{k, k + 1},

$P_{k+1,k} \times P_{k,k+1},$

P_{k, l} = {\sum_{i = 0}^{k} \sum_{j = 0}^{l} a_{i j} x^{i} y^{j} : a_{i j} \in R} .

$P_{k,l} = \left\{\sum_{i=0}^k\sum_{j=0}^l a_{ij} x^iy^j: a_{ij}\in\mathbb{R}\right\}.$

k = 0

$k=0$

k = 1

$k=1$

(\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x + c_{1} x^{2} + d_{1} y + e_{1} x y + f_{2} x^{2} y \\ a_{2} + b_{2} y + c_{2} y^{2} + d_{2} x + e_{2} x y + f_{2} x y^{2} \end{matrix}) .

$\begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 x^2 + d_1 y + e_1 xy + f_2 x^2y\\ a_2 + b_2 y + c_2 y^2 + d_2 x + e_2 xy + f_2 xy^2 \end{pmatrix}.$

\dim R T_{1} = 12

$\dim RT_1 = 12$

\dim R T_{k} = 2 (k + 1) (k + 2)

$\dim RT_k = 2(k+1)(k+2)$ . Bu, elemanın iç kısmında bulunması gereken iki ek serbestlik derecesine ihtiyacınız olduğu anlamına gelir. (Genel olarak, için almak her boyutu normal türevleri ve iç kısmından kalan serbestlik dereceleri.)

R T_{k}

$RT_k$

k + 1

$k+1$

Gerçek sorunuzu cevaplamak için: Raviart-Thomas öğeleri için genellikle puan değerlendirmeleri yerine anlar alırsınız, yani kalan koşullar burada , temelidir ( örneğin, için ). Tam bir nodal temel almayı kolaylaştırmak için, faset serbestlik dereceleri genellikle puan değerlendirmesi olarak değil, aynı zamanda moment koşulları olarak da kabul edilir: burada dört kenardan biridir, karşılık gelen dış normaldir ve her

\int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} ϕ_{i} (x, y) q_{j} (x, y) d x d x = δ_{i j},

$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \phi_i(x,y) q_j(x,y) dx\,dx=\delta_{ij},$

{q_{j}}

$\{q_j\}$

P_{k - 1, k} \times P_{k, k - 1}

$P_{k-1,k}\times P_{k,k-1}$

{1, x, y}

$\{1,x,y\}$

k = 1

$k=1$

\int_{e_{m}} ϕ_{i} (s)^{T} ν_{e_{m}} q_{m, j} (s) d s,

$\int_{e_m} \phi_i(s)^T\nu_{e_m} \, q_{m,j}(s)\,ds,$

e_{m}

$e_m$

ν_{e_{m}}

$\nu_{e_m}$

m

$m$ , bir temeli oluşturur (örneğin, kenar yönüne bağlı olarak için veya ). Birlikte, bu serbestlik dereceleri çözümsüzdür (yani, temel fonksiyonların karşılık gelen sistemi her zaman ters çevrilebilir).

q_{m, j}

$q_{m,j}$

P_{k} (e_{m})

$P_k(e_m)$

{1, x}

$\{1,x\}$

{1, y}

$\{1,y\}$

k = 1

$k=1$

Dörtlü Raviart-Thomas-Elements ile ilgili bir tartışmayı Boffi, Brezzi, Fortin Bölüm 2.4.1'de bulabilirsiniz: Karışık Sonlu Eleman Yöntemleri ve Uygulamaları , Springer 2013 , Arnold, Boffi, Falk: Dörtgen sonlu elemanlar $H(div)$ , SINUM 42 (5), 2005, s. 2429-2451 ve Ronald Hoppe'nin ders notlarının Bölüm 3.2.3'ü .

_{Genel bir kural olarak 1., sipariş bir polinom uzay tetrahedral elemanlar üzerinde kimin güçler monomials içeren toplamı için düzen bir boşluk ise, dörtlü unsurları olan monomials içeren maksimal gücü . Örneğin, dört yüzlü düzlemlerde sırada , ancak dörtgenlerde alır.
$k$ $k$ $k$ $k$ $x^2y$ $3$ $2$}

— Hıristiyan Sınıfı
kaynak

Cevabınız için çok teşekkür ederim, açıkça çok çaba harcadınız. Sanırım bu benim yanlış anlamalarımdan birçoğunu temizliyor.

— Lukas Bystricky

Yukarıda açıklanan integrali kullanarak için temel fonksiyonunu yeniden hesapladım ve ile geldim . Bunun doğru olduğunu varsayarsak, kompakt desteğin nerede devreye girdiğini açıklayabilir misiniz? Yana sabittir , non-sıfır olacaktır üstündeki ve altındaki elemanları tüm.

ϕ_{1}

$\mathbf{\phi}_1$

k = 0

$k=0$

\frac{1}{4} ⟨ 1 + x, 0 ⟩^{T}

$\frac{1}{4}\langle 1+x, 0\rangle^T$

ϕ_{1}

$\mathbf{\phi}_1$

y

$y$

— Lukas Bystricky

Yararlı bulduğunuza sevindim; sorunuz ilginç ve siz de çok çaba harcadınız. Kompakt destek, polinomların sadece referans elemanda tanımlandığı gerçeğinden kaynaklanmaktadır - Raviart-Thomas'ın H (div) uyumlu elemanlar olduğunu ve bu nedenle küresel sonlu eleman uzayındaki fonksiyonların sürekli olması gerekmediğini hatırlayın .

— Christian Clason

Aslında bu yalnızca iç serbestlik derecelerine bağlı temel işlevler için geçerlidir: Kenar serbestliğine bağlı (küresel) temel işlevler, kenarla bağlanan iki öğeyi (yalnızca) destekler; diğer tüm elemanlarda sıfıra ayarlanır.

— Christian Clason

Aslında: kenar elemanları için, polinomun kendisi değil, sadece normal izin sürekli olması gerekir, bu yüzden bile destek uzatılmadan otomatik olarak halledilmelidir. Küresel Raviart-Thomas alanı hakkında daha fazla ayrıntıya ihtiyacınız varsa , sorunuzu genişletmenizi öneririm ve cevabımı genişletmeye çalışacağım.

— Christian Clason