FEM'de, sertlik matrisi neden pozitiftir?

10

FEM sınıflarında, genellikle sertlik matrisinin pozitif kesin olduğu kabul edilir, ancak nedenini anlayamıyorum. Birisi açıklama yapabilir mi?

Örneğin, Poisson problemini düşünebiliriz: sertlik matrisi:

- \nabla^{2} u = f,

$-\nabla^2 u = f,$

K_{i j} = \int_{Ω} \nabla φ_{i} \cdot \nabla φ_{j} d Ω,

$K_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, d\Omega,$ ki bu simetrik ve pozitif tanımlı. Simetri bariz bir özelliktir, ancak pozitif kesinlik benim için çok açık değildir.

finite-element matrix stiffness

— user123
kaynak

1

Bu aslında çözmeye çalıştığınız kısmi diferansiyel denkleme bağlıdır. İlgilendiğiniz kişiyi ekleyebilir misiniz?

— Christian Clason

Merhaba, @ChristianClason, yorumunuz için teşekkür ederim. Bu sorunun somut bir örneğini ekledim.

— user123

3

Uyarı: Sınır koşulları olmadan, eleman matrislerinden bir araya getirildiği gibi tam sistem sertlik matrisi, katı cisim hareketlerinin eşdeğerlerini sıfır kuvvete eşlemek zorunda olduğu için tam dereceye sahip değildir. Böylece tam sertlik matrisi en iyi ihtimalle pozitif semidefinit olabilir. Bununla birlikte, uygun sınır koşulları ile, katı vücut hareketleri devre dışı bırakılır ve daha sonra kısıtlanmış sistem nonsüler olur. (Aksi takdirde çözülemez). Bu nedenle, gerçek pozitif kesinliği bulmak için, sınır koşullarının uygulanmasından kaynaklanan yoğunlaştırılmış matrise bakmanız gerekir.

— kaktüs

13

Özellik, karşılık gelen (zayıf formunun) kısmi diferansiyel denkleminin özelliğinden; bu, sonlu elemanlar yöntemlerinin, örneğin sonlu farklar yöntemlerine kıyasla avantajlarından biridir.

Bunu görmek için, ilk olarak sonlu eleman yönteminin Poisson denkleminin zayıf formundan başladığını hatırlayın (Dirichlet'in sınır koşullarını burada varsayıyorum): $u\in H^1_0(\Omega)$ öyle ki

a (u, v) := \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = \int_{Ω} f v d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) .

$a(u,v):= \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega fv\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega).$ Buradaki önemli özellik,

\begin{matrix} (1) & bir (v, v) = ‖ \nabla v ‖_{L^{2}}^{2} \geq c ‖ v ‖_{{'H}^{1}}^{2} hepsi için v \in {'H}_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}

$a(v,v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 \geq c \|v\|_{H^1}^2 \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega). \tag{1}$ (Bu Poincaré eşitsizliğinden kaynaklanmaktadır.)

Şimdi klasik sonlu elemanlar yaklaşımı sonsuz boyutlu uzay değiştirmektir bir tarafından sonlu boyutlu bir alt uzay ve bulmak öyle ki Buradaki önemli özellik aynı ve bir alt uzay ( uygun bir takdir yetkisi) kullandığınızı; bu hâlâ $H^1_0(\Omega)$ $V_h\subset H^1_0(\Omega)$ $u_h\in V_h$

\begin{matrix} (2) & bir (u_{h}, v_{h}) : = \int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v_{h} d x = \int_{Ω} f v_{h} d x hepsi için v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(u_h,v_h):= \int_\Omega \nabla u_h\cdot \nabla v_h \,dx = \int_\Omega fv_h\,dx \qquad\text{for all }v_h\in V_h.\tag{2}$

a

$a$

V_{h} \subset H_{0}^{1} (Ω)

$V_h\subset H^1_0(\Omega)$

\begin{matrix} (3) & bir (v_{h}, v_{h}) \geq c ‖ v_{h} ‖_{{'H}^{1}}^{2} > 0 hepsi için v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(v_h,v_h) \geq c \|v_h\|_{H^1}^2 >0 \qquad\text{for all }v_h\in V_h. \tag{3}$

Şimdi son adım için: lineer denklem sisteminin, bir dayanak almak varyasyon formu dönüştürmek için arasında , yazma ve , içine ekleyin . Sertlik matrisi daha sonra (yazdıklarınızla çakışan girişlerine sahiptir . $\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$ $V_h$ $u_h =\sum_{i=1}^N u_i\varphi_i$ $v_h=\varphi_j$ $1\leq j\leq N$ $(2)$ $K$ $K_{ij}=a(\varphi_i,\varphi_j)$

Şimdi keyfi bir vektör alın ve . Sonra göre olan ve bilinearity (diğer bir deyişle, her iki argümanları içine skalarlar ve toplamları taşıyabilir) Yana keyfi oldu bu ima kesin pozitiftir. $\vec v=(v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$ $v_h:=\sum_{i=1}^Nv_i \varphi_i\in V_h$ $(3)$ $a$

{\vec{v}}^{T} K \vec{v} = Σ_{ben = 1}^{N-} Σ_{j = 1}^{N-} v_{ben} K_{ben j} v_{j} = Σ_{ben = 1}^{N-} Σ_{j = 1}^{N-} bir (v_{ben} φ_{ben}, v_{j} φ_{j}) = bir (v_{h}, v_{h}) > 0.

$\vec v^T K \vec v = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N v_iK_{ij} v_j = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a(v_i\varphi_i,v_j\varphi_j) = a(v_h,v_h) >0.$

\vec{v}

$\vec v$

K

$K$

TL; DR: Sertlik matrisi pozitif tanımlıdır, çünkü (kendiliğinden bitişik) eliptik kısmi diferansiyel denklemin uygun bir ayrıklaştırılmasından gelir .

— Hıristiyan Sınıfı
kaynak

2

Elemanın sertliği pozitif değilse, sistem kararlı değildir. Yani model büyük olasılıkla doğru değil. Harmonik osilatörün en temel denklemine bakın

m x^{"} (t) + k x (t) = f (t)

$m x''(t) + k x(t) = f(t)$

negatifse çözelti kararsızdır (karakteristik denklemin köklerine bakın). Bu, çözeltinin patlayacağı anlamına gelir. Sertlik eski haline getirici bir kuvvet olmalıdır. En azından fiziksel bir yay için. Sertlik matrisi bunu çok sayıda elemente (global sertlik matrisi) genişletir. Hepsi bu. Ama aynı temel fikir. FEM temeli, her bir elemanın kendisiyle ilişkili bir sertliğe sahip olduğu yapısal analiz için sertlik matrisi yöntemindedir. $k$

— Nasır
kaynak