Cebirsel Multigrid: Neden enterpolasyon ve kısıtlama ürünü norm 1 ile bir şeyle sonuçlanmaz?

Şu anda Briggs ve ark., Bölüm 8 tarafından "A Multigrid Eğitimi" ile çalışıyorum.

İnterpolasyon operatörünün yapısı şu şekilde verilir:

Daha sonra kısıtlama operatörü ve ince ızgara operatörünün inşaatı şu şekilde verilir:

Diyelim ki üç tane x0, x1, x2 ızgara noktamız var, ortası x1 iyi ve diğerleri kaba. Ortadaki ile enterpolasyon yapılır x1 = x0*w0 + x2*w2. Bu nedenle, enterpolasyon operatörü (Matlab'da):

I = [1, 0, 0; w0, 0, w2; 0, 0, 1]

I =

[  1, 0,  0]
[ w0, 0, w2]
[  0, 0,  1]

Kısıtlama operatörü şu şekilde olur:

transpose(I)

ans =

[ 1, w0, 0]
[ 0,  0, 0]
[ 0, w2, 1]

Şimdi biri enterpolasyon doğrudan ardından kısıtlamak ve eğer sonuçlar ne bir çarpma halinde, ne olacağını görelim Ive transpose(I):

I*transpose(I)

ans =

[  1,          w0,  0]
[ w0, w0^2 + w2^2, w2]
[  0,          w2,  1]

Bu matrisin bir kimlik matrisi gibi bir şey olduğunu veya en azından norm 1 veya bir şey olacağını umuyorum. Ancak, w0 = w2 = 0.5 diyelim için x = [1, 1, 1] uygularsak, [1.5 1.5 1.5] alırız. Tekrar tekrar uygulanan kısıtlama-enterpolasyon işlemlerinin en azından bir şeye yakınlaşacağını varsayıyorum. Fakat hayır, bu durumda tüm vektör bileşenleri her kısıtlama enterpolasyonunda 1.5 ile çarpılır. Bu bana çok garip geliyor.

Neler olup bittiğini açıklayan var mı?

Daha basit bir açıklama - kısıtlama operatörünün aralığı kaba ızgara alanı iken enterpolasyon operatörünün aralığı ince ızgara alanıdır. İkisi eşit olmadıkça, enterpolasyon + kısıtlaması bir kimlik matrisiyle sonuçlanmaz, çünkü her zaman kısıtlama operatörü tarafından kesilen ve kaybolan bileşenleri olacaktır . $x$

Cevabın iki kısmı var. İlk olarak, kimliği alamazsınız çünkü kısıtlama işlemi sırasında bilgi atarsınız (yalnızca üç noktadan daha büyük bir ağ düşünüyorsanız, kısıtlama sırasında diğer düğümlerin değerlerini "unutursunuz" ve aktarma işlemi sırasında bu bilgileri kurtaramazsınız. Sonuç olarak, uygularken kimlik işlemini alamazsınız .$I^TI$

İkincisi, biri etrafında normu olan bir şey almanız gerektiği sezginiz doğrudur ve uzama matrisini farklı seçerseniz. İfadenizde, bunu kısıtlama matrisinin geçişi olarak seçersiniz. Bu uygun bir seçimdir çünkü çoklu ızgara döngüsünü simetrik bir operatör yapar. Ancak, kısıtlamanın devri, işlev değerlerini kaba ızgaradan ince ızgaraya basitçe enterpole eden gömme matrisi eşdeğer değildir . Operatör , bu aradığınız mülke sahiptir. Özellikle, olan İdempotent : Eğer iki kez uygularsanız bunu bir kez uygulanmış gibi, sonuç aynıdır:E I E I ( E I ) ( E I ) = E $E$$EI$$EI$$(EI)(EI)=EI$ .