Mimetik sonlu fark yöntemlerinin açıklayıcı örnekleri

İnternette kısa bir açıklama bulmaya çalıştığım kadar, taklit bir sonlu fark kavramını ya da bunun standart sonlu farklarla nasıl bir ilişki olduğunu kavrayamıyorum. Klasik doğrusal PDE'ler (hiperbolik, eliptik ve parabolik) için nasıl uygulandıklarına dair bazı basit örnekleri görmek gerçekten yararlı olacaktır.

İstediğiniz cevap olup olmadığından emin değilim, ancak kimsenin cevap vermediğini görünce , rezervuar simülasyonundaki basınç denklemleri için mimetik çözücüler kullanan GPL'd MATLAB Rezervuar Araç Kutusu'ndan bahsedebilirim . Bu denklem olarak görülüyor , ,sürekli geçirgenlik / viskozite oranıiçin tipik eliptik test denklemine, Δp=0(Poisson) indirir, muhtemelen MRST çözücülerinden biraz bilgi edinebilirsiniz. MRST, farklı mimetik yöntemler kullanarak tamamen yapılandırılmamış ızgaraları destekler; burada mimetik, kütle dengesi denklemlerini kurmak için gerekli olan iç ürünün taklit edilmesini ifade eder. Bunu anlamak için muhtemelen rezervuar simülasyonlarını anlamanız gerekmez.

Başlamak için iyi bir örnek burada açıklanmaktadır . Dahil edilen örneklerde, adımlar arasında ilerlemek ve her adımdaki verileri incelemek için shift-enter komutunu kullanabileceğiniz MATLAB'ın blok komut dosyası işlevselliği kullanılır.

İlgili makaleleri burada bulabilirsiniz . İlk kağıt, mimetik iç ürünün formülasyonundan geçer, böylece kodla ilgili bir ayrıntıya sahip olabilirsiniz. MATLAB'ınız yoksa veya dili bilmiyorsanız, bu muhtemelen çok yararlı değildir - ancak basit örneklerin Octave ile de uyumlu olması gerektiğini düşünüyorum.

Bazı detaylar arasında ilerleyen bir yüksek lisans tezi olan "PEBI ızgaralarında Mimetik ve İki Nokta Akı-Yaklaşım Şemaları Arasında Karşılaştırma" ve özellikle bölüm 7.3 el ile küçük bir örnek üzerinde çalışıyor.

$\nabla\cdot$$\nabla$$\nabla\times$

Ayrık bir hesabın inşası iki adımda ilerler. İlk olarak, ana operatörlerden biri olarak, birincil operatör olarak adlandırılan ayrı bir form seçiyoruz . Ardından, sürdürmeyi seçtiğimiz bazı diferansiyel ve integral kimlikler alt kümesine dayanarak, türetilmiş operatörler olarak adlandırılan diğer temel operatör (ler) i inşa ediyoruz . Ana operatörün seçimi uygulamaya ve takdir yetkisine bağlıdır. Bir bakıma, ana operatör türetilmiş operatörlerin yapımını "destekler". Koruma yasaları, çözüm simetrileri ve diferansiyel operatörler arasındaki bitişik ilişkiler, ayrı operatörlerin taklit etmesini istediğimiz özelliklerin örnekleridir.

Örneğin, doğrusal difüzyon denkleminin bir SOM ayrıklaştırması taklit ayrıklaştırması taklit eder

1. Yerel koruma yasasını uygulamak için Gauss-Green teoremi
2. $-\textbf{K}\nabla = (\nabla\,\cdot)^{*}$
3. Ayrık ıraksama ve ayrık akı ürününün garantili simetrisi ve pozitifliği
4. Ayrık akı operatörünün boş alanı sabit işlevlerdir.

Difüzyon denkleminin mimetik ayrıklaştırılmasına ilişkin tüm detaylar 1D veya 2D olarak mevcuttur .

Web sitesinde veya doğrudan burada bulunan Jerome Bonelle'nin tezine bakın . Bölüm 2 - 4'ü okumak ve güzel bir tanıtım yapmak oldukça kolay buldum. Ayrıca, biri eliptik PDE ve Stokes denklemleri olmak üzere iki örnekten bahsediyor.