Sayısal analizde 'a priori' ve 'posteriori' hata tahmini arasındaki farklar nelerdir?

Sonlu Elemanlar Yöntemi hakkında bilgi edindim (diğer sayısal yöntemlerde de biraz) ama bu iki hatanın ve aralarındaki farkların tam olarak ne olduğunu bilmiyorum?

finite-element numerical-analysis error-estimation

— Anh-Thi DINH
kaynak

Bir önsel tahminleri ( "önceki" Latince itibaren) kesin sadece bağlıdır, ancak değerlendirilir dolayısıyla değil bilgisayarlı yaklaşık çözüm ve (değil pratikte ise teoride) olabilir önce çözüm hesaplama. Tersine, bir posteriori (Latince'den "sonradan") tahminleri hesaplanan çözüme bağlıdır, ancak tam çözüme bağlı değildir, bu nedenle çözümün hesaplanmasını gerektirir, ancak aslında pratikte değerlendirilebilir.

— Christian Clason

@ChristianClason - bunu bir cevap yap!

— Wolfgang Bangerth

‖ u - u_{h} ‖ \leq C (h),

$\|u - u_h\| \leq C(h),$

u

$u$

u_{h}

$u_h$

h

$h$

C (h)

$C(h)$

h

$h$

u

$u$

u_{h}

$u_h$

h

$h$

α

$\alpha$

h

$h$ ) veya denklemleri veya optimizasyon problemlerini çözmek için yinelemeli yöntemler (

yerine yineleme indeksi

k

$k$ - veya daha doğrusu

1 / k

$1/k$ - ile ). Böyle bir tahminin amacı " Kesin çözümün almak istiyorsam, ne kadar küçük seçmeliyim ?"

h

$h$ $10^{-3}$ $h$

A priori ve posterior tahminler arasındaki fark sağ taraf $C(h)$ :

Gelen önsel tahminleri, sağ taraftaki bağlıdır (genellikle açıkça) ve , ancak üzerinde . Örneğin, Poisson denkleminin sonlu eleman yakınlaştırılması için önsel tahmin tipik şekline sahip olacaktır alanın ve örgünün geometrisine bağlı olarak sabit ile . Prensip olarak, sağ taraf (dolayısıyla adı) hesaplanmadan önce değerlendirilebilir , böylece herhangi bir şeyi çözmeden önce seçebilirsiniz . Uygulamada ne ne de bilinmemektedir ( $h$ $u$ $u_h$ $-\Delta u = f$
$‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c h^{2} | u |_{{'H}^{2}},$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h^2 |u|_{H^2},$ $c$ $u_h$ $h$ $c$ $|u|_{H^2}$ $u$ ilk başta aradığınız şeydir), ancak bazen kanıtları dikkatlice inceleyerek ve için sipariş veya büyüklük tahminleri alabilirsiniz. (bilinen) verilerini kullanarak . Ana kullanım nitel bir tahmindir - hatayı dört kat daha küçük yapmak istiyorsanız, yarıya indirmeniz gerektiğini söyler . $c$ $|u|$ $f$ $h$
Gelen sonradan tahminlere, sağ taraf bağlıdır ve değil üzerinde . Poisson denklemi için basit bir artık tabanlı posterior tahmin . teorisi hesaplandıktan sonra değerlendirilmelidir . Uygulamada, normu hesaplamak sorunludur, bu nedenle sağ taraftaki bir elemanı akıllıca bağlı hale getirmek için daha fazla manipüle edersiniz $h$ $u_h$ $u$
$‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c h ‖ f + Δ u_{h} ‖_{{'H}^{- 1}},$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h \|f+\Delta u_h\|_{H^{-1}},$ $u_h$ $H^{-1}$ $‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c (\underset{K}{Σ} h_{K}^{2} ‖ f + Δ u_{h} ‖_{L^{2} (K)} + \underset{F}{Σ} h_{K}^{3 / 2} ‖ j (\nabla u_{h}) ‖_{L^{2} (F)}),$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c \left(\sum_{K} h_K^2 \|f+\Delta u_h\|_{L^2(K)} + \sum_{F} h_K^{3/2} \|j(\nabla u_h)\|_{L^2(F)}\right),$ İlk toplamı elemanları üzerinde olduğu nirengi, boyutu , ikinci toplamı eleman sınırları üzerinde , ve normal türevinin sıçramasıdır; boyunca . Bu, sabiti hariç, elde sonra tamamen hesaplanabilir . Bu yüzden yine kullanım esas olarak niteldir - hangi öğelerin diğerlerinden daha büyük bir hata katkısı verdiğini söyler, bu nedenle eşit bir şekilde azaltmak yerine, sadece büyük hata katkılarına sahip bazı öğeleri seçer ve bunları alt bölümlere ayırarak daha küçük yaparsınız. Bunun temeli $K$ $h_K$ $K$ $F$ $j(\nabla u_h)$ $u_h$ $F$ $u_h$ $c$ $h$ uyarlanabilir sonlu elemanlar yöntemleri .

— Hıristiyan Sınıfı
kaynak

Bu cevap tam olarak ihtiyacım olan şey, çok teşekkürler.

— Anh-Thi DINH