1D adveksiyon denkleminin nümerik çözümündeki sahte salınımlara nasıl bir bağ oluşturabilirim?

9

Aşağıdaki periyodik 1D adveksiyon problemim olduğunu varsayalım:

$\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ , burada , değerinde bir atlama süreksizliğine sahiptir . $\Omega=[0,1]$
$u(0,t)=u(1,t)$
$u(x,0)=g(x)$
$g(x)$ $x^*\in (0,1)$

Anladığım kadarıyla, birinci dereceden daha yüksek doğrusal sonlu fark şemaları için, zaman içinde önerildiği gibi süreksizliğin yakınında sahte salınımlar meydana gelir ve bu da çözeltinin beklenen dalga şeklinden bozulmasına neden olur. Wikipedia açıklamasına göre , bu salınımlar tipik olarak süreksiz bir fonksiyonun sonlu fourier serileri ile yaklaştığında ortaya çıkmaktadır.

Nedense, bu PDE'nin çözümünde sonlu bir fourier serisinin nasıl gözlenebileceğini anlayamıyorum. Özellikle, "aşırı atış" ile ilgili bir sınırı analitik olarak nasıl tahmin edebilirim?

pde finite-difference advection

— Paul
kaynak

11

Birinci dereceden rüzgar alma yöntemi monoton; sahte salınımlar getirmez. Ancak bu sadece birinci dereceden doğrudur ve birçok amaç için kullanılamayacak kadar çok sayısal yayılım sağlar. Godunov Teoremi , birinci dereceden daha yüksek doğrusal mekânsal takdir yetkilerinin monoton olamayacağını belirtir. Titreşimleri titizlikle kontrol etmek için Toplam Varyasyon Azaltma (TVD) şemalarını kullanırız. TVD yöntemleri tipik olarak ikinci dereceden doğrulukla sınırlıdır. Daha yüksek sipariş için, ya talebimizi gevşetmeliyiz, (Ağırlıklı) Temel Salınımlı Olmayan ((W) ENO) gibi Toplam Varyasyon Sınırlı (TVB) yöntemlerine yol açmalı ya da TVD'nin tanımını "maksimum prensip koruma" ya getirmeliyiz veya benzer, ki burada ilk ekstrema ilk yeniden yapılandırılmış çözelti cinsindendir,özel sınırlayıcı şemalar .

— Jed Kahve
kaynak

Özür dilerim ... bir nedenden ötürü, bunun birinci dereceden düzen için de geçerli olduğu izlenimini edindim. Soruyu bu yorumu yansıtacak şekilde düzenledim.

— Paul

5

1B probleminin periyodik sınırlarla doğrusal sonlu farkların ayrıştırılması, biçiminin ayrıklaştırılmasına yol açar

U^{n + 1} = L U^{n}

$U^{n+1} = LU^n$

burada bir sirkülasyon matrisidir . Herhangi bir matrisinin özvektörleri ayrık Fourier modlarıdır (burada , ızgara ve , sıfırdan ızgarada temsil edilebilen en yüksek dalga numarasına kadar değişen dalga sayısıdır). Bu özvektörler, ızgara üzerinde gösterilebilen tüm işlevler için bir temel oluşturur. Çözümü bu ayrık Fourier modları cinsinden ifade ederseniz, sayısal yöntem köşegenleştirilir, yani her Fourier bileşeni her adımda (genellikle karmaşık) skaler faktör ile çarpılır. Skaler faktör genellikle amplifikasyon faktörü olarak adlandırılır ve az önce açıkladığım şey von Neumann analizi olarak bilinir $L$

v_{j} = \exp (i j h ξ)

$v_j = \exp(ijh\xi)$

h

$h$

ξ

$\xi$ . Doğrusal diferansiyel operatörleri "köşegenleştirmek" için Fourier temeli kullanan lineer PDE'lerin Fourier analizine benzer.

Örneğin Strikwerda veya LeVeque metninde hoş açıklamalar bulabilirsiniz .

— David Ketcheson
kaynak

Von neumann analizine aşinayım. Ama bu analizi gerçekten sahte salınımlara bir bağ oluşturmak için kullanabilir miyim?

— Paul

Esas olarak açıklamanıza yanıt veriyordum Bu PDE'nin çözümünde sonlu bir fourier serisinin nasıl gözlemlendiğini kavrayamıyorum. Ama evet, bu analizden böyle sınırlar alabilirsiniz. Örneğin, tüm modların yapıcı bir şekilde müdahale ettiği en kötü senaryoya bakabilirsiniz. Bununla birlikte, bu muhtemelen çok kötümser bir sınır olacaktır. Uygulamada, kimsenin TVD veya TVB'den başka sınırlar getirdiğini görmedim (oldukça güçlü ve doğrusal şemalar için geçerli değil).

— David Ketcheson

En yüksek dalga boyu modları için dağılım ilişkisine bakarak muhtemelen daha ilginç bir bağ kurabilirsiniz. Ama bunu hiç görmedim.

— David Ketcheson

2

Tüm sahte salınımlar Gibbs fenomeni değildir. Benzer görünüyorlar, ancak süreksiz işlevlerin tüm sonlu Fourier yaklaşımları için Gibbs salınımları var (daha fazla terim ekledikçe küçülüyorlar). Oysa sonsuz seriler gerektirmeyen PDE'lere sonlu fark yaklaşımlarının çözümünden kaynaklanan süreksiz fonksiyonların salınımlı olmayan gösterimleri vardır.

Bathe ( upwind yöntemlerinin Inf-sup testi , PDF), 1-B'de sonlu eleman yöntemleri (konveksiyon-difüzyon, IIRC) için - durumu sabitinin hesaplanmasını ve salınımlarla ilişkilendirilmesini içeren bir makaleye sahiptir. . Bundan biraz fikir edinebilirsiniz. $\inf$ $\sup$

— Bill Barth
kaynak

3

Bu yararlı bir kağıttır, ancak inf-sup stabilitesinin salınımların güçlü kontrolünü sağlamadığını unutmayın. Örneğin hiçbir inf-sup stabilitesi bir TVD yöntemi sağlayamaz. Ve Godunov Teoremi ışığında, birinci dereceden daha büyük salınımlı olmayan çözümlere sahip olmak istiyorsak, doğrusal uzamsal takdir yetkilerini aramak mantıklı değildir. Peclet numarasının bu makaledeki tüm yöntemlerde göründüğünü ve yöntemlerin TVD olmasa da ilk sipariş doğruluğuna olarak düştüğünü unutmayın.

P e \to \infty

$\mathrm{Pe}\to \infty$

— Jed Brown

Bunların hepsi gerçek ifadeler. Sadece konveksiyon-difüzyon problemleri için geçerlidir.

— Bill Barth

2

Sonlu Fourier serileri ve sonlu elemanlar yaklaşımı arasındaki bağlantı hakkında son sorunuza gelince: Genel olarak, temel fonksiyonları sürekli olan sonlu boyutlu bir alana atlayarak bir işlevi yansıtmaya çalışırsanız Gibbs fenomenine sahip olursunuz. Eğer bu temel sonlu bir Fourier serisiyse (temel fonksiyonlar sinüsler ve kosinüsler ise) ya da temel olağan sonlu eleman şapka işlevleri ise doğrudur - bu projeksiyonun bir özelliği artı temel işlevlerin uygun olmamasıdır.

— Wolfgang Bangerth
kaynak

Yanlış bir şekilde kanıtlandığım için mutluyum, çünkü açıkça uygulama dışındayım, ancak daha fazla nitelik olmadan şapka işlevlerine yönelik projeksiyonlar hakkında yorumunuzu almıyorum. İlk yıl FEM sınıfımdaki eski 1-D MATLAB kodumu kullanarak hızlı hesaplamam , şapka fonksiyonlarını kullanarak adım fonksiyonunun salınımlı olmadığını gösteriyor. Neyi kaçırdığımı gösterebilecek bir örneğin var mı?

H_{0}^{1}

$H_0^1$

— Bill Barth

Boşver. Eski kod eski. Salınımları yeniden üretebilirim. Önceki yorum geri çekildi.

— Bill Barth

Yardım edebileceğim için memnunum :-)

— Wolfgang Bangerth

0

Bir yaklaşım eşdeğer denklem, yani ayrık yönteminizin en yakın yaklaşımı verdiği diferansiyel denklemdir. Bu asla çözmeyi amaçladığınız diferansiyel denklem değildir. Daha sonra, başlangıç verileri olarak bir adım fonksiyonu için eşdeğer denklemin asimptotik çözümüne bakarsınız. Bouche, D., Bonnaud, G. ve Ramos, D., 2003'e bakın. Adveksiyon denkleminin çözümü için sayısal şemaların karşılaştırılması. Uygulamalı matematik harfleri, 16 (2), s.147-154.

— Philip Roe
kaynak