Açık Euler yöntemi reaksiyon difüzyon problemi için çok yavaş

Turing'in reaksiyon difüzyon sistemini aşağıdaki C ++ koduyla çözüyorum. Çok yavaş: 128x128 piksel doku için kabul edilebilir yineleme sayısı 200'dür - bu 2,5 saniyelik gecikme ile sonuçlanır. İlginç bir görüntü elde etmek için 400 yinelemeye ihtiyacım var - ancak 5 saniye beklemek çok fazla. Ayrıca, dokunun boyutu aslında 512x512 olmalıdır - ancak bu büyük bekleme süresine neden olur. Cihazlar iPad, iPod.

Bunu daha hızlı yapma şansı var mı? Euler yöntemi yavaşça yakınsar (wikipedia) - daha hızlı yönteme sahip olmak yineleme sayısını düşürmeye izin verir mi?

EDIT: Thomas Klimpel'in işaret ettiği gibi, satırlar: "if (m_An [i] [j] <0.0) {...}", "if (m_Bn [i] [j] <0.0) {...}" yakınsamayı geciktiriyor: kaldırıldıktan sonra 75 yinelemeden sonra anlamlı görüntü görünüyor . Aşağıdaki kod satırları yorum yaptık.

void TuringSystem::solve( int iterations, double CA, double CB ) {
    m_iterations = iterations;
    m_CA = CA;
    m_CB = CB;

    solveProcess();
}

void set_torus( int & x_plus1, int & x_minus1, int x, int size ) {
    // Wrap "edges"
    x_plus1 = x+1;
    x_minus1 = x-1;
    if( x == size - 1 ) { x_plus1 = 0; }
    if( x == 0 ) { x_minus1 = size - 1; }
}

void TuringSystem::solveProcess() {
    int n, i, j, i_add1, i_sub1, j_add1, j_sub1;
    double DiA, ReA, DiB, ReB;

    // uses Euler's method to solve the diff eqns
    for( n=0; n < m_iterations; ++n ) {
        for( i=0; i < m_height; ++i ) {
            set_torus(i_add1, i_sub1, i, m_height);

            for( j=0; j < m_width; ++j ) {
                set_torus(j_add1, j_sub1, j, m_width);

                // Component A
                DiA = m_CA * ( m_Ao[i_add1][j] - 2.0 * m_Ao[i][j] + m_Ao[i_sub1][j]   +   m_Ao[i][j_add1] - 2.0 * m_Ao[i][j] + m_Ao[i][j_sub1] );
                ReA = m_Ao[i][j] * m_Bo[i][j] - m_Ao[i][j] - 12.0;
                m_An[i][j] = m_Ao[i][j] + 0.01 * (ReA + DiA);
                // if( m_An[i][j] < 0.0 ) { m_An[i][j] = 0.0; }

                // Component B
                DiB = m_CB * ( m_Bo[i_add1][j] - 2.0 * m_Bo[i][j] + m_Bo[i_sub1][j]   +   m_Bo[i][j_add1] - 2.0 * m_Bo[i][j] + m_Bo[i][j_sub1] );
                ReB = 16.0 - m_Ao[i][j] * m_Bo[i][j];
                m_Bn[i][j] = m_Bo[i][j] + 0.01 * (ReB + DiB);
                // if( m_Bn[i][j] < 0.0 ) { m_Bn[i][j]=0.0; }
            }
        }

        // Swap Ao for An, Bo for Bn
        swapBuffers();
    }
}

Izgarayı geliştirirken difüzyon sert olduğu için beklenen stabilite ile sınırlı görünüyorsunuz. Sert sistemler için iyi yöntemler en azından kısmen örtüktür. Biraz çaba gerektirecektir, ancak bu sistemi ondan az "çalışma birimi" (temelde zaman adımlarınızdan birinin maliyeti) ile çözmek için basit bir çoklu-manyetik algoritma uygulayabilirsiniz (veya bir kütüphane kullanabilirsiniz). Izgarayı hassaslaştırdığınızda, yineleme sayısı artmaz.

Pratik bir bakış açısından: A5 işlemci o kadar güçlü değil, bu yüzden birkaç HW yinelemesi bekleyebilir veya ipod / ipad'iniz internete bağlanacaksa, sorununuzu uzaktan veya bulutta çözün.

Euler diğer yöntemlerle yavaşça birleşiyor, ancak ilgilendiğiniz bu değil. Sadece "ilginç" görüntüler arıyorsanız, zaman adımınızın boyutunu artırın ve daha az yineleme yapın. Sorun, Jed'in belirttiği gibi, açık euler yönteminin ızgara boyutuyla ilişkili olarak büyük zaman adımları ile kararlılık sorunları olmasıdır. ızgaranız ne kadar küçükse (yani resminiz o kadar yüksek çözünürlüktedir), bunun için zaman adımınız o kadar küçük olmalıdır.

Örneğin, açık yerine örtük euler kullanarak, herhangi bir yakınsama sırası elde edemezsiniz, ancak çözüm koşulsuz kararlılığa sahip olacak ve çok daha büyük zaman adımlarına izin verecektir. Örtük yöntemler uygulamak ve zaman adımı başına daha fazla hesaplama yapmak için daha karmaşıktır, ancak toplamda daha az adım atarak bunun ötesinde kazançlar görmelisiniz.