Sonlu farklar ve sonlu elemanlar arasında seçim yapma kriterleri nelerdir?

Sonlu farklılıkları çok sınırlı bir ızgara üzerinde özel bir sonlu elemanlar durumu olarak düşünmeye alışkınım. Peki, Sonlu Farklar Yöntemi (FDM) ve Sonlu Elemanlar Yöntemi (FEM) arasında nümerik bir yöntem olarak nasıl seçim yapılacağına ilişkin koşullar nelerdir?

Sonlu Farklar Yöntemi'nin (FDM) yanında, bunların Sonlu Elemanlar Yöntemi'nden (FEM) kavramsal olarak daha basit ve uygulanması daha kolay olduğu söylenebilir. FEM çok esnek olma avantajına sahiptir, örneğin, şebekeler çok düzgün olmayabilir ve alanlar isteğe bağlı olarak olabilir.

FDM'nin FEM'den daha üstün olduğunu bildiğim tek örnek , yararın , sonlu elemanlar yöntemi için sabitlenebilecek farklı bir zaman türevini kullanan FD yönteminden kaynaklandığı, Celia, Bouloutas, Zarba'dadır. .

En spesifik sonlu farklılık yöntemlerini Petrov-Galerkin sonlu elemanlar yöntemi olarak bazı yerel yeniden yapılanma ve kareleme seçenekleriyle yazmak mümkündür ve çoğu sonlu eleman yöntemlerinin cebirsel olarak bazı sonlu farklar yöntemine eşdeğer olduğu da gösterilebilir. Bu nedenle, hangi analiz çerçevesini kullanmak istediğimizi, hangi terminolojiyi sevdiğimizi, hangi genişletilebilirlik sistemini sevdiğimizi ve yazılımı nasıl yapılandırmak istediğimizi temel alan bir yöntem seçmeliyiz. Aşağıdaki genellemeler pratik kullanımdaki varyasyonların büyük çoğunluğunda geçerlidir, ancak birçok nokta atlatılabilir.

Sonlu fark

Artıları

• verimli dörtgensiz uygulama
• en boy oranı bağımsızlığı ve belirli programlar için yerel koruma (örneğin sıkıştırılamaz akış için MAC)
• Taşıma için sağlam doğrusal olmayan yöntemler (örneğin ENO / WENO)
• Bazı problemler için M-matrisi
• Bazı problemler için ayrık maksimum prensip (örn. mimetik sonlu farklar)
• köşegen (genellikle kimlik) kütle matrisi
• ucuz nodal artıkları verimli doğrusal olmayan multigrid (FAS) izni verir
• hücre tipi Vanka düzleştiriciler, sıkıştırılamaz akış için verimli matrissiz düzleştiriciler sağlar

Eksileri

• "fizik" uygulamak daha zor
• kademeli ızgaralar bazen oldukça tekniktir
• yapılandırılmamış ızgaralarda ikinci dereceden daha yüksek
• Galerkin ortogonalitesine sahip olmadığı için yakınsama kanıtlamak daha zor olabilir.
• bir Galerkin yöntemi değil, bu yüzden ayrıklaştırma ve ekler işe yaramadı (optimizasyon ve ters problemlerle alakalı)
• kendine bitişik süreklilik problemleri genellikle simetrik olmayan matrisler verir
• çözüm yalnızca nokta yönünden tanımlanmıştır, bu nedenle keyfi konumlardaki yeniden yapılanma benzersiz şekilde tanımlanmamıştır
• Sınır koşulları uygulamak için karmaşık olma eğilimindedir
• süreksiz katsayılar genellikle yöntemleri birinci dereceden yapar
• fizik "çapraz terimler" içeriyorsa şablon büyür

Sonlu elemanlar

Artıları

• Galerkin ortogonalitesi (zorlayıcı sorunlara ayrık çözüm, alandaki en iyi çözümün sabiti içindedir)
• basit geometrik esneklik
• devam etmeyen Galerkin, sağlam taşıma algoritması, yapılandırılmamış ızgaralarda keyfi bir düzen sunar
• $L^2$
• sınır koşullarının uygulanması kolay
• Test alanı seçerek koruma ifadesini seçebilir
• ayrıklaştırma ve birleşme işlemleri (Galerkin yöntemleri için)
• fonksiyonel analizde zarif temel
• yüksek mertebe, yerel çekirdekler, FD ile eksik olan tensör ürün yapısından yararlanabilir
• Lobatto kareselliği enerji tasarrufu sağlayan yöntemler yapabilir (sempatik bir zaman bütünleştiricisi varsayarsak)
• Sınırlara hizalayabildiğiniz sürece süreksiz katsayılarda bile yüksek sipariş doğruluğu
• Elementlerin içindeki süreksiz katsayılar XFEM ile uyumlu olabilir
• çoklu destek koşullarının kullanımı kolay

Eksileri

• birçok elemanın yüksek görünüş oranında sorunu var
• Sürekli FEM'in taşımayla ilgili sorunları var (SUPG yaygın ve salınımlıdır)
• DG genellikle aynı doğruluk için daha fazla serbestlik derecesine sahiptir (HDG daha iyi olsa da)
• Sürekli FEM ucuz düğüm problemleri sağlamaz, bu nedenle doğrusal olmayan düzleştiricilerin çok daha zayıf sabitleri vardır.
• Birleştirilmiş matrislerde genellikle daha fazla sıfır olmayan
• Tutarlı kütle matrisi (bazı hoş özellikler, ancak tam tersi vardır, bu nedenle zaman adımı başına kesin bir çözüm gerektirir) ve topaklanmış kütle matrisi arasında seçim yapmak zorundadırlar.

Bu soru anlamlı bir cevap alamayacak kadar geniş olabilir. Cevap veren çoğu insan, kullanılabilecek her türlü FD ve FE takdir yetkisinin alt kümesine aşina olacaktır. FD ve FE’nin her ikisine de

• ile uygulanabilir yapılandırılmış veya yapılandırılmamış ızgaraları (bakınız bu kağıt yapılandırılmamış bir ızgara üzerinde bir HA yönteminin sadece bir örnek olarak)
• keyfi yüksek doğruluk derecesine kadar uzatılabilir (birçok yönden!)
• Uzayda ve / veya zamanda , belki bir arada bir şekilde ayrıştırmak için kullanılabilir
• ya kullanımı lokal ya da genel baz fonksiyonlarını (her ikisi de FD FE tip spektral yöntemlere ikinci kurşun)
• sürekli veya süreksiz bir fonksiyon alanına dayanabilir
• mekansal olarak açık veya kapalı olabilir
• geçici olarak açık veya kapalı olabilir

Kaptın bu işi. Elbette, belirli bir disiplinde, insanların yaygın olarak uyguladıkları ve kullandıkları FD ve FE yöntemleri çok farklı özelliklere sahip olabilir. Ancak bu genellikle iki ayrıklaştırma yaklaşımının içsel sınırlamaları nedeniyle değildir.

Keyfi yüksek dereceli FD şemaları ile ilgili olarak: yüksek dereceli FD şemalarının katsayıları herhangi bir sipariş için otomatik olarak oluşturulabilir; örneğin LeVeque'in kitabına bakınız . FD yöntemleri olan spektral sıralama yöntemleri, mesh aralığının herhangi bir gücünden daha hızlı birleşir; Örneğin Trefethen'in kitabına bakınız .

Sonlu elemanların avantajları (FE):

• varyasyonel yöntem (örneğin, FD için doğru olmayan Schroedinger denklemi için enerjiler her zaman artan "p" ile düşer)
• yüksek siparişlerde doğru (p = 50 daha fazla)
• bir kez uygulandığında, hem "p" hem de "h" de sistematik yakınsama yapmak kolaydır (her bir sipariş için özel FD planları olması yerine)

Sonlu farkların (FD) avantajları:

• düşük siparişler için uygulaması daha kolay
• düşük hassasiyetler için FE'den daha hızlı

Bazen insanlar "sonlu farklar" diyerek, Runge-Kutta veya Adams metodu gibi ODE için bir entegratör anlamına gelir. Bu durumda, FD'nin başka bir avantajı var:

• doğrusal olmayan ODE'leri doğrudan çözmek mümkün

FE, Newton yöntemi gibi bazı doğrusal olmayan yinelemelere ihtiyaç duyar.

Çok sayıda güzel cevap zaten sonlu elemanlar yönteminin artılarını esnek ve güçlü olarak ifade etti. Burada, FEM'in Sobolev uzayından ve diferansiyel geometri bakış açısından başka bir avantajını vereceğim. Sobolev, gerçek çözümün yer aldığı mekanlar.

Örneğin, Raviart-Thomas düzlem esnekliği için yüz elemanı ve difüzyon için karma yöntem; Hesaplamalı elektromanyetik için Nédélec kenar elemanı.

$k$$L^2$

$$H\Lambda^k = \{\omega \in \Lambda^k: \omega \in L^2(\Lambda^k), \mathrm{d} \omega \in L^2(\Lambda^k)\}$$ $\mathrm{d}$

$$\mathbb{R}^3 \xrightarrow{id}\, H(\mathbf{grad},\Omega) \xrightarrow{\nabla}\, H(\mathbf{curl},\Omega) \xrightarrow{\nabla \times}\,H(\mathrm{div},\Omega) \xrightarrow{\nabla \cdot}\, L^2(\Omega)$$

operatörün aralığı bir sonraki operatörün boş alanıdır ve bu de Rham'ın tam sırasını devralmak için bir sonlu eleman alanı oluşturabilirsek, bu sonlu eleman boşluğuna dayanan Galerkin metodu olacaktır. kararlı olun ve gerçek çözüme kavuşur. İnterpolasyon operatörünün stabilite ve yaklaşım özelliğini sadece de Rham sekansından gelen iletişim şeması ile elde edebiliriz, artı bu sekansı temel alan bir posteriori hata kestirimi ve adaptif mesh rafinasyon prosedürü oluşturabiliriz.

Bununla ilgili daha fazla bilgi için lütfen Douglas Arnold'un Acta Numerica'daki makalesine bakın: " Sonlu elemanlar dış hesabı, homoloji teknikleri ve uygulamaları " ve fikri kısaca anlatan bir slayt

Mekansal ve zamansal programlar arasında ayrım yapmak önemlidir.

Sonlu elemanlar genellikle geçici terimleri (örneğin, açık Euler, üstü kapalı, Crank-Nicholson veya geçici difüzyon için Runga Kutta) ve uzaysal ayrıklaştırma için sonlu elemanları bütünleştirmek için sonlu farkları kullanır.

Sonlu elemanlar düzensiz örgülere kendilerini güzelce verir. Değişken ilkelere dayanabilirler, ancak genellikle ağırlıklı artıklar yöntemi kullanılarak genelleştirilirler. Farklı polinom sıraları kullanan element kütüphaneleri geliştirmek ve Lagrange çarpanlarını kullanarak sıkıştırılamazlık gibi kısıtlamaları uygulamak kolaydır.

Her iki formülasyon da sona ermek için bir araçtır: denklem sistemleri ve lineer cebir açısından diferansiyel bir denklemi ifade etme.

Bir yöntemin diğerine göre hızına ilişkin ifadelerin algoritmayı tanımlayarak nitelendirilmesi gerekir. Örneğin, mekanik problemlerin hiperbolik dinamik problemleri olarak dökülmesi, bazı durumlarda daha hızlı sonuçlar verebilir, çünkü bunlar matris ayrışımını çarpma ve ekleme ile değiştirirler.

Sonlu elemanlar yöntemleri hakkında sonlu farklar yapmaktan çok daha fazla şey bildiğimi itiraf edeceğim. FEM ticari paketlerde mevcuttur ve katı mekanik ve ısı transferindeki sorunları çözmek için endüstri ve akademi'de yaygın olarak kullanılmaktadır. İşlemsel akışkanlar dinamiğinde sonlu farklar veya sonlu hacim yaklaşımlarının kullanıldığına inanıyorum.